數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限概念-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 例 1 .a r c ta nl im x xx ???求π 1lim a r c t a n , lim 0 ,2xx x x? ? ? ? ???解 因 為 所 以返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 2 .1lim 0 ??????? xxx求有時(shí)又當(dāng) ,0?x因此由迫斂性得 。返回 后頁(yè) 前頁(yè) 167。)(l im)(l im)]()([l im)1(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ???。. .)(l i m)(l i m00Axfxf xxxx ?? ?? ??）有定義，則（在設(shè) 0)( xUxf ?定理 180。 :)(l i m0的充要條件是Axfxx ??,1s g nl i m,1s g nl i m 00 ??? ?? ?? xx xx由于 xx s g nlim 0?所以不存在 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 作為本節(jié)的結(jié)束 ,我們來介紹兩個(gè)特殊的函數(shù)極限 . 例 9 證明狄利克雷函數(shù) ??????無(wú)理數(shù)，有理數(shù)xxxD0,1)(證 00 1R , , .2xA ???對(duì)于任意的 以及任意實(shí)數(shù) 取處處無(wú)極限 . ,||0 0* ???? xx,QR,21||,0 * ???? xA 取若對(duì)于任意的 ?滿足 返回 后頁(yè) 前頁(yè) .21|||)(| 0* ????? AAxD**01| | , Q , 0 | | ,2A x x x? ? ? ? ?若 取 滿 足 則?.21|1||)(| 0* ?????? AAxD這就證明了結(jié)論 . 則 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 10 設(shè)黎曼 函數(shù) .1,0,0,1),(,1)(?????????無(wú)理數(shù)以及xqpqpxqxR00: ( 0, 1 ) , li m ( ) R x?? ? ?求證證 .10 ?? ??? NN ，使，取一正整數(shù)因?yàn)樵? (0, 1) 中分母小于 N 的有理數(shù)至多只有 .)(, 21 Knxxx n ??個(gè) , 故可設(shè)這些有理數(shù)為 2 )1( ?? NNK返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這就是說，除了這 n 個(gè)點(diǎn)外 , 其他點(diǎn)的函數(shù)值都 ,)1( 010 in xxxxx ?可設(shè)中的某一個(gè)是若 ?}.||{mi n},{)2( 0110 xxxxx knkn ??? ???則令若 ?時(shí)，當(dāng)于是 ???? ||0, 0xx對(duì)以上兩種情形都有 .|0)(| ???xR這就證明了 .0)(l i m0?? xRxx；令則 }||{mi n 0,1 xx kiknk ?? ????小于 ? . 所以 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 我們已經(jīng)知道，狄利克雷函數(shù)在每點(diǎn)都無(wú)極限 .能 注 有興趣的同學(xué)可以證明： .0)(lim)(lim 10 ?? ?? ?? xRxR xx復(fù)習(xí)思考題 否構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，它僅在 處有極限 . nxxx , 21 ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 在前面一節(jié)中引進(jìn)的六種類型的函數(shù) 167。)( ??? Axf有時(shí)而當(dāng) ,||0 20 ???? xx .)( ??? Bxg0,? ? 分別存在正數(shù) 12,??使當(dāng) 010 | |xx ?? ? ?時(shí) , 有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 滿足時(shí)則當(dāng)令 ,||0,},m in { 021 ???? ???? xx,)()( ?? ????? BxgxfA所以證得是任意正數(shù)因?yàn)閺亩?,.2 ???? BA.BA ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 且設(shè) ,)(l i m)(l i m00Axgxf xxxx ?? ??定理 （迫斂性） 內(nèi)有的某個(gè)空心鄰域在 )( 00 xUx ?).()()( xgxhxf ??.)(l i m0Axhxx ??那么證 因?yàn)? 所以對(duì)于任意,)(lim)(lim00Axgxf xxxx ?? ??有時(shí)當(dāng)存在 ,||0,0,0 0 ??? ????? xx( ) ,A f x A??? ? ? ?( ) .A g x A? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) .)()()( ?? ?????? AxgxhxfA再由定理的條件，又得 這就證明了 0)( xxh 在點(diǎn) 的極限存在，并且就是 A . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 。 1 函數(shù)極限概念 一、 x趨于 ?時(shí)的函數(shù)極限 二、 x趨于 x0 時(shí)的函數(shù)極限
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