【正文】 x? ? ? ? ? ?? ? ?例如 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、 x趨于 x0 時(shí)的函數(shù)極限 設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某空心鄰域 內(nèi)有定義 . )( 0xU ?,?數(shù) ,)(),( 0 時(shí)當(dāng) xUxUx ?? ?? ?,)( ??? Axf定義 4 )( xf設(shè) 內(nèi)有)( xU ?的某空心鄰域0x在點(diǎn),?如果對(duì)于任意正數(shù)定義， .是一個(gè)常數(shù)A 存在正為極限的定義 . 下面我們直接給出函數(shù) f (x) 時(shí)以常數(shù) A 0xx ?當(dāng)返回 后頁(yè) 前頁(yè) 或者 0l i m ( )xx f x A? ?.)()( 0xxAxf ??.)( 0 為極限時(shí)以當(dāng) Axxxf ?記為 則稱 例 5 證明 .22 11 21l i m1?? ??? xxx時(shí) , 使 ,?對(duì)于任意正數(shù) ,0??要找到 ???? |1|0 x當(dāng)分析 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1 2 1 1 11 2 2 1 2 2 2xx x?? ? ? ?? ??因 21 1,2 2 ( 1 2 )x xx? ????只要 式就能成立 , 故取 即可 . 1 , ( )x ?? ? ? ???證 ,?? ? 00 xx ?? ? ?當(dāng) 時(shí) ,?任給正數(shù) 取()? 212 1.2 2 ( 1 2 ) 2 2 ( 1 2 )x xxx??? ?? ? ?? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這就證明了 ,122 11 21 ?????? ?? xxx.22 11 21l i m1?? ??? xxx返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 6 證明 .lim 2020xxxx ??,00202 ?????? xxxxxx可以先限制 因?yàn)?此時(shí)有 ,10 ?? xx0 0 0 0 022x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?故只要 所以 ,)21( 00202 xxxxx ????.2100 xxx ????要使 分析 01 2 ,x??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這就證明了 .202 ??? xx.lim 2020xxxx ??證 ,21,1mi n0 ???????? x??取???? 00 xx當(dāng),0??? 有 ,時(shí)返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 7 求證： 0 0( 1 ) l i m si n si n 。 :)(l i m0的充要條件是Axfxx ??,1s g nl i m,1s g nl i m 00 ??? ?? ?? xx xx由于 xx s g nlim 0?所以不存在 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 作為本節(jié)的結(jié)束 ,我們來(lái)介紹兩個(gè)特殊的函數(shù)極限 . 例 9 證明狄利克雷函數(shù) ??????無(wú)理數(shù)，有理數(shù)xxxD0,1)(證 00 1R , , .2xA ???對(duì)于任意的 以及任意實(shí)數(shù) 取處處無(wú)極限 . ,||0 0* ???? xx,QR,21||,0 * ???? xA 取若對(duì)于任意的 ?滿足 返回 后頁(yè) 前頁(yè) .21|||)(| 0* ????? AAxD**01| | , Q , 0 | | ,2A x x x? ? ? ? ?若 取 滿 足 則?.21|1||)(| 0* ?????? AAxD這就證明了結(jié)論 . 則 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 10 設(shè)黎曼 函數(shù) .1,0,0,1),(,1)(?????????無(wú)理數(shù)以及xqpqpxqxR00: ( 0, 1 ) , li m ( ) R x?? ? ?求證證 .10 ?? ??? NN ，使，取一正整數(shù)因?yàn)樵? (0, 1) 中分母小于 N 的有理數(shù)至多只有 .)(, 21 Knxxx n ??個(gè) , 故可設(shè)這些有理數(shù)為 2 )1( ?? NNK返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這就是說(shuō)，除了這 n 個(gè)點(diǎn)外 , 其他點(diǎn)的函數(shù)值都 ,)1( 010 in xxxxx ?可設(shè)中的某一個(gè)是若 ?}.||{mi n},{)2( 0110 xxxxx knkn ??? ???則令若 ?時(shí)，當(dāng)于是 ???? ||0, 0xx對(duì)以上兩種情形都有 .|0)(| ???xR