數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限概念-文庫(kù)吧
2025-07-17 12:13 本頁(yè)面
【正文】 c t a n ,22xx xx? ? ? ? ? ?? ? ?例如 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、 x趨于 x0 時(shí)的函數(shù)極限 設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某空心鄰域 內(nèi)有定義 . )( 0xU ?,?數(shù) ,)(),( 0 時(shí)當(dāng) xUxUx ?? ?? ?,)( ??? Axf定義 4 )( xf設(shè) 內(nèi)有)( xU ?的某空心鄰域0x在點(diǎn),?如果對(duì)于任意正數(shù)定義， .是一個(gè)常數(shù)A 存在正為極限的定義 . 下面我們直接給出函數(shù) f (x) 時(shí)以常數(shù) A 0xx ?當(dāng)返回 后頁(yè) 前頁(yè) 或者 0l i m ( )xx f x A? ?.)()( 0xxAxf ??.)( 0 為極限時(shí)以當(dāng) Axxxf ?記為 則稱 例 5 證明 .22 11 21l i m1?? ??? xxx時(shí) , 使 ,?對(duì)于任意正數(shù) ,0??要找到 ???? |1|0 x當(dāng)分析 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1 2 1 1 11 2 2 1 2 2 2xx x?? ? ? ?? ??因 21 1,2 2 ( 1 2 )x xx? ????只要 式就能成立 , 故取 即可 . 1 , ( )x ?? ? ? ???證 ,?? ? 00 xx ?? ? ?當(dāng) 時(shí) ,?任給正數(shù) 取()? 212 1.2 2 ( 1 2 ) 2 2 ( 1 2 )x xxx??? ?? ? ?? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這就證明了 ,122 11 21 ?????? ?? xxx.22 11 21l i m1?? ??? xxx返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 6 證明 .lim 2020xxxx ??,00202 ?????? xxxxxx可以先限制 因?yàn)?此時(shí)有 ,10 ?? xx0 0 0 0 022x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?故只要 所以 ,)21( 00202 xxxxx ????.2100 xxx ????要使 分析 01 2 ,x??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這就證明了 .202 ??? xx.lim 2020xxxx ??證 ,21,1mi n0 ???????? x??取???? 00 xx當(dāng),0??? 有 ,時(shí)返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 7 求證： 0 0( 1 ) l i m si n si n 。xx xx? ?注 在例 例 6中 , 我們將所考慮的式子適當(dāng)放大 , 不是“最佳”的 , 但這不影響我們解題的有效性 . 其目的就是為了更簡(jiǎn)潔地求出 ? , 或許所求出的 ? 0 0( 2 ) l i m c os c os .xx xx? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 證 首先，在 右圖所示的單位圓內(nèi) , π0,2x??當(dāng) 時(shí)顯然有 即 ,O A BO A DO A D SSS ?? ?? 扇形,t a n2121s i n21 xxx ??故 πs i n t an 0 .2x x x x??? ? ? ?????O C D B A y x x 返回 后頁(yè) 前頁(yè) .0 時(shí)成立上式中的等號(hào)僅在 ?xπ ,2x ?因 為 當(dāng) 時(shí) ,0,1s i n ??? xxx 故對(duì)一切R.,s i n ?? xxx.s in xx ? ,sin x 故均是奇函數(shù) ,x又因?yàn)橛?00si n si n 2 c os si n22x x x xxx ????對(duì)于任意正數(shù) ,?? ?取 ,0 0 時(shí)當(dāng) ???? xx,?0 ,xx ?? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) .s i ns i nl i m 00xxxx ??同理可證 : .c o sc o slim 00xxxx ??所以返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 7 證明： ).1||(11lim 02020????? xxxxx證 因?yàn)? 22 000 220| || |1111x x x xxxxx??? ? ? ?? ? ?則 ,0??? ,21 20x?? ??取00 | |xx ?? ? ?當(dāng) 時(shí)，22 00 202 | || 1 1 | .1xxxx
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