數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限概念(更新版)
【正文】 函數(shù)極限 設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某空心鄰域 內(nèi)有定義 . )( 0xU ?,?數(shù) ,)(),( 0 時(shí)當(dāng) xUxUx ?? ?? ?,)( ??? Axf定義 4 )( xf設(shè) 內(nèi)有)( xU ?的某空心鄰域0x在點(diǎn),?如果對(duì)于任意正數(shù)定義， .是一個(gè)常數(shù)A 存在正為極限的定義 . 下面我們直接給出函數(shù) f (x) 時(shí)以常數(shù) A 0xx ?當(dāng)返回 后頁(yè) 前頁(yè) 或者 0l i m ( )xx f x A? ?.)()( 0xxAxf ??.)( 0 為極限時(shí)以當(dāng) Axxxf ?記為 則稱(chēng) 例 5 證明 .22 11 21l i m1?? ??? xxx時(shí) , 使 ,?對(duì)于任意正數(shù) ,0??要找到 ???? |1|0 x當(dāng)分析 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1 2 1 1 11 2 2 1 2 2 2xx x?? ? ? ?? ??因 21 1,2 2 ( 1 2 )x xx? ????只要 式就能成立 , 故取 即可 . 1 , ( )x ?? ? ? ???證 ,?? ? 00 xx ?? ? ?當(dāng) 時(shí) ,?任給正數(shù) 取()? 212 1.2 2 ( 1 2 ) 2 2 ( 1 2 )x xxx??? ?? ? ?? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這就證明了 ,122 11 21 ?????? ?? xxx.22 11 21l i m1?? ??? xxx返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 6 證明 .lim 2020xxxx ??,00202 ?????? xxxxxx可以先限制 因?yàn)?此時(shí)有 ,10 ?? xx0 0 0 0 022x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?故只要 所以 ,)21( 00202 xxxxx ????.2100 xxx ????要使 分析 01 2 ,x??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這就證明了 .202 ??? xx.lim 2020xxxx ??證 ,21,1mi n0 ???????? x??取???? 00 xx當(dāng),0??? 有 ,時(shí)返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 7 求證： 0 0( 1 ) l i m si n si n 。11l i m0 ????????? xxx解 由取整函數(shù)的性質(zhì)， .1111 xxx ????????? 0?x當(dāng),11lim)1(lim 00 ??? ?? ?? xx x由于時(shí) , 有 ,111 ????????? xxx同理得 ,111 xxx ????????? 于是求得 .11l i m0????????? xxx.11lim0???????? xxx返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 3 求極限 π4lim ( t a n 1 ) .xxx??π π44πsi nsi n 4l i m t an l i m 1 ,πc os c os4xxxxx??? ? ?解 因?yàn)? 所以 π4π πl(wèi)i m ( t an 1 ) 1 1 1 .44x xx? ? ? ? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 4 .)1(1lim0 ??? aaxx求證有時(shí)當(dāng) ,Nn ? ,1111?? ????? ? nn aa特別又有 .1111?? ????? ? NN aa,1N??取 ,|0|0 時(shí)當(dāng) ???? x,1111?? ?????? ? NxN aaa.1l im 0 得證即 ?? xx a證 ,11lim,1lim ?????? nnnn aa因?yàn)?所以 ,0 N??? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 001. l i m ( ) , l i m ( ) ,x x x xf x a g x?? ?設(shè) 存在 不存在 試問(wèn)復(fù)習(xí)思考題 0002. li m ( ) , li m ( ) ,x x u ug x u f u A?? ??設(shè) 這 時(shí) 是 否 必 有0l i m ( ( ) ) ?xx f g x A? ?0li m ( ) ( ) ?xx f x g x?極 限 是 否 必 定 不 存 在
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