【正文】 所討論的極限大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限，一類是函數(shù)的極限 .兩類極限的本質(zhì)上是相同的，在形式上數(shù)列界限是函數(shù)極限的特例 .因此，本文只就函數(shù)極限進(jìn)行討論 .函數(shù)極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的一個重要的基本運(yùn)算，一部分函數(shù)的極限可以通過直接或間接的運(yùn)用“極限四則運(yùn)算法則”來求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過特殊方法解 決 .求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的 .對某個具體的求極限的問題，我們應(yīng)該追求最簡便的方法 .在求極限的過程中，必然以相關(guān)的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧 . 極限是數(shù)學(xué)分析中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài) ]1[ .早在中國古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有記載 ,例如，魏晉時期中國數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù) ” 的數(shù)學(xué)思想，即用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想 .在數(shù)學(xué)分析中的許多基本概念，都可以 用極限來描述 .如函數(shù)連續(xù)的定義 ，導(dǎo)數(shù)的定義，定積分、二重積分、三重積分的定義，級數(shù)收斂的定義， 都是用極限來定義的 .極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本工具，極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線 .本文是在極限存在的條件下，對極限的常用求法進(jìn)行綜述，歸納出計算極限的一般流程 .計算極限所用的方法，是致力于把所求極限 簡化為已知極限 . 求極限的方 法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止本文所歸納的，故本文并不夠完善，求極限的方法未能拓展 ,只限于數(shù)學(xué)分析 .希望通過本文，大家在思想上能對求解極限的方法有一個高度的總括，計算極限時游刃有余 . 4 第 4 頁 共 20 頁 2 函數(shù) 極限的概念及 性質(zhì) 函數(shù)極限的概念 定義 1 設(shè) f 為定義在 ? ?,a?? 上的函數(shù)， A 為定數(shù) .若對任給的 0?? ，存在正數(shù) M ? ?0a? ，使得當(dāng) xM? 時有 ? ?f x A ??? 則稱函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 ?? 時以 A為極限，記作 ? ?limx f x A??? ? 或 ? ? ? ?f x A x? ? ?? 定義 2 （函數(shù)極限的 ??? 定義） 設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 的某個空心鄰域? ?039。 secondly by induction and summarization, this paper lists some mon calculation methods, and analysis all kinds of method of limit. At last,given the procedure of the solution to function limit finally, . the idea of solve function limit and the step of solve function limit, to make the beginning student can grasp the method of solve function limit fast ]9[ . Key words: limit。??? ，使得00 xx ?? ? ? 時有 ? ?f x A ??? 則稱函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 0x 時以 A為極限，記作 ? ?0limxxf x A? ? 或 ? ? ? ?0f x A x x?? 定義 3 設(shè)函數(shù) f 在 ? ?039。0。 )(39。)0(39。 例 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限 011 , 2 , 0 , 1 , 2 ,nnx x x n?? ? ? ??? 解 ： 對于 1已有 12nx??，對 ( ) 2f x x? ，有 39。如果不是，則歸結(jié)為其他類型的極限，用兩邊夾定理 積分中值定理、級數(shù)收斂的必要條件等其他方法來求解 ,可轉(zhuǎn)到 ， ， .) 不同的函數(shù)形式，可采用不同的極限求法，如上文歸納的求極限的方法 .不管用什么方法，目的都是要簡化函數(shù)，化為已知極限 . 21 第 21 頁 共 20 頁 結(jié)論 在選擇求極限方法時，首先要分析函數(shù)的特點(diǎn)，確定函數(shù)式的類型，然后根據(jù)函數(shù)的類型和 特點(diǎn)來決定用何種方法去求函數(shù)的極 限 .極限是描述數(shù)列和函數(shù) 22 第 22 頁 共 20 頁 的變化趨勢 ,該趨勢是以自變量的變化過程為前提 ,所以在判斷極限所屬的類型時 ,一定要以自變量的變化過程為前提 ,而不能單純只看函數(shù)式 ,否則必錯無疑 . 把求數(shù)列極限化為求函數(shù)極限 ,就給求數(shù)列極限開辟了廣闊的天地 .這是因?yàn)榍蠛瘮?shù)極限可以有多種方法 ,針對不同函數(shù)的特點(diǎn) ,可利用函數(shù)的連續(xù)性、洛必達(dá) ()法則 ,函數(shù)的泰勒 (Taylor)展開式等 ,但也應(yīng)該明白 ,并不是任何數(shù)列極限問題都能轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限問題的 ,例如 ,當(dāng)數(shù)列的通項本身呈現(xiàn) n 項之和或積的形式時就不能按海涅定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極 限了 . 本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的一些常用方法 .以上只是眾多求解極限方法的一小部分，或許并不全面，讀者如果有興趣可以繼續(xù)探索新的求解方法 .因?yàn)閿?shù)學(xué)知識博大精深，我們目前只接觸到一點(diǎn)點(diǎn)而已，雖然我們還處在那數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)層，但這并不妨礙我們對數(shù)學(xué)的喜愛與學(xué)習(xí) ,我們應(yīng)不停的接受知識 . 總之，在求函數(shù)極限的過程就是綜合運(yùn)用各種方法的過程，只有真正理解每一種求解函數(shù)極限方法需要滿足的條件及實(shí)質(zhì)，以及各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系 ,才能在求函數(shù)極限的過程中游刃有余 ,且受其益于生活實(shí)踐 . 參考文獻(xiàn) [1]王盛群等 .高等數(shù)學(xué) [M].山東 :山東大學(xué)出版社， 1993. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 [M].北京 :高等教育出版社 ,2020. [3]錢吉林 .數(shù)學(xué)分析題解精粹 [M].湖北 :眾邦考試教育研究所 ,2020. [4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 .微積分 [M].北京 :高等教育出版社 ,2020. 23 第 23 頁 共 20 頁 [5]尹國成 .常見函數(shù)極限的求法 [J].保山師專學(xué)報 ,2020,(6):13. [6]宋顥 .函數(shù)極限的求法探討 [J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè) ,2020,(12):360361. [7]劉玉璉等 .數(shù)學(xué)分析講義 [M].北京 :高等教育出版 社 ,1992. [8]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 .高等數(shù)學(xué)習(xí)題集 [M].北京 :高等教育出版社 ,1998. [9] Wolfgang B. Jurkat. Ein funktionentheoretischer Beweis furoTaubersitze bei den Verfahren von Borel und EulerKnopp. [J].Archiv der Mathematik,1956,7(4) [10] Balazs Szegedy. Characters of the Borel and Sylow subgroups of classical groups. [J].Journal of Algebra,2020,267(1) 致謝 這次畢業(yè)論文能夠得以順利完成，自始至終都是由楊玉敏老師全面、具體的指導(dǎo)之下進(jìn)行的，多次幫我修改論文，還給予我 很多寶貴的意見和建議 .楊玉敏老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?治學(xué)態(tài)度和對工作的兢兢業(yè)業(yè)、一絲不茍的精神將永遠(yuǎn)激勵和鞭策我認(rèn)真學(xué)習(xí)、努力工作 . 在楊老師那里，我不僅學(xué)習(xí)到了廣泛的專業(yè)知識，更重要的是她那淵博的知識，無私的奉獻(xiàn)精神，孜孜不倦的教誨給了 我深深的啟迪 .在我做本文的過程中無不傾注著楊玉敏老師的心血和汗水 .在此，我要向我的畢業(yè)論文指導(dǎo)教師楊玉敏老師致以衷心的感謝和深深的敬意！衷心感謝每一位教導(dǎo)過我的老師，是他們 24 第 24 頁 共 20 頁 使我擁有良好的專業(yè)基礎(chǔ)，因而有能力完成這一畢業(yè)論文 . 感謝身邊所有的朋友與同學(xué)，謝謝你們四年來的關(guān)照與寬容，與你們一起走過的繽紛時代，將會是我一生最珍貴的回憶 .