【正文】 例 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限 011 , 2 , 0 , 1 , 2 ,nnx x x n?? ? ? ??? 解 ： 對于 1已有 12nx??，對 ( ) 2f x x? ，有 39。 )(39。??? ，使得00 xx ?? ? ? 時(shí)有 ? ?f x A ??? 則稱函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 0x 時(shí)以 A為極限，記作 ? ?0limxxf x A? ? 或 ? ? ? ?0f x A x x?? 定義 3 設(shè)函數(shù) f 在 ? ?039。 Taylar exhibition type 2 第 2 頁 共 20 頁 目 錄 1 前言 ......................................................................................................................... 3 2函數(shù)極限的概念及性質(zhì) .............................................................................................. 4 函數(shù)極限的概念 ............................................................................................... 4 函數(shù)極限的性質(zhì) ............................................................................................... 5 3函數(shù)極限的求解方法 ................................................................................................. 6 利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限 ....................................................................................... 6 利用極限的四則運(yùn)算求極限 ............................................................................ 7 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 ......................................................................... 8 利用洛必達(dá)法則求極限 ................................................................................... 9 利用函數(shù)連續(xù)性求極限 ................................................................................. 10 通過等式變形化為已知極限 .......................................................................... 10 利用換元法求極限 ........................................................................................ 11 利用自然對數(shù)法求極限 ......................................................................... 11 利用因式分解法求極限 ................................................................................. 12 利用壓縮定理 ............................................................................................. 16 4 求極限的一般流程 .................................................................................................. 18 結(jié)論 ........................................................................................................................... 21 參考文獻(xiàn) .................................................................................................................... 22 致謝 ........................................................................................................................... 23 3 第 3 頁 共 20 頁 1 前言 極限研究的是變量在變化過程中的趨勢問題 .數(shù)學(xué)分析中所討論的極限大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限，一類是函數(shù)的極限 .兩類極限的本質(zhì)上是相同的，在形式上數(shù)列界限是函數(shù)極限的特例 .因此，本文只就函數(shù)極限進(jìn)行討論 .函數(shù)極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本運(yùn)算，一部分函數(shù)的極限可以通過直接或間接的運(yùn)用“極限四則運(yùn)算法則”來求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過特殊方法解 決 .求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的 .對某個(gè)具體的求極限的問題，我們應(yīng)該追求最簡便的方法 .在求極限的過程中，必然以相關(guān)的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧 . 極限是數(shù)學(xué)分析中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài) ]1[ .早在中國古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有記載 ,例如，魏晉時(shí)期中國數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù) ” 的數(shù)學(xué)思想，即用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想 .在數(shù)學(xué)分析中的許多基本概念，都可以 用極限來描述 .如函數(shù)連續(xù)的定義 ，導(dǎo)數(shù)的定義，定積分、二重積分、三重積分的定義，級(jí)數(shù)收斂的定義， 都是用極限來定義的 .極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本工具，極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線 .本文是在極限存在的條件下，對極限的常用求法進(jìn)行綜述，歸納出計(jì)算極限的一般流程 .計(jì)算極限所用的方法，是致力于把所求極限 簡化為已知極限 . 求極限的方 法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止本文所歸納的，故本文并不夠完善，求極限的方法未能拓展 ,只限于數(shù)學(xué)分析 .希望通過本文，大家在思想上能對求解極限的方法有一個(gè)高度的總括，計(jì)算極限時(shí)游刃有余 . 4 第 4 頁 共 20 頁 2 函數(shù) 極限的概念及 性質(zhì) 函數(shù)極限的概念 定義 1 設(shè) f 為定義在 ? ?,a?? 上的函數(shù)， A 為定數(shù) .若對任給的 0?? ，存在正數(shù) M ? ?0a? ，使得當(dāng) xM? 時(shí)有 ? ?f x A ??? 則稱函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 ?? 時(shí)以 A為極限，記作 ? ?limx f x A??? ? 或 ? ? ? ?f x A x? ? ?? 定義 2 （函數(shù)極限的 ??? 定義） 設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)空心鄰域? ?039。 ?xg ； （ 3） Axg xfxx ?? )(39。( ) 1f x r??成立，利用微分中值定理： 17 第 17 頁 共 20 頁 39。 2 2 2( 1 )