【正文】 ( 2 ) 1 1() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )xxfx x x x? ? ? ?? ? ?? ? ?， 39。 )(39。0。 Variable substitution。( 00 ?xU 內(nèi)有 )()()( xgxhxf ?? 則 Axhxx ?? )(lim0 利用夾逼原理求極限，通常通過放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列或函數(shù)， )()()( xgxhxf ?? . 例 coslimxxxx??? 解： 因?yàn)?1 cos 1x? ? ? ，所以當(dāng) x ＜ 0時(shí) 1 1 c o s 1 111x x x xx x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? 而 11lim 1 lim 1 1xxxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 由迫斂性定理得， coslimxxxx??? =1 例 3. 2 求2sinlim 4x xxx??? ? 解： 因?yàn)楫?dāng) x ＞ 2時(shí)，2 2 2s in4 4 4x x x xx x x? ??? ? ? 而221lim lim 0441xxx xxx? ?? ? ????????，2lim 04x xx??? ?? 由迫斂性定理知 2sinlim 4x xxx??? ?=0 7 第 7 頁 共 20 頁 （ 2）單調(diào)有界定理 [2] 設(shè) ??fx為定義在 ? ?00Ux?[或 ? ?00Ux?]上的單調(diào)有界函數(shù)，則 ? ?0limxxfx??存在[或 ? ?0limxxfx??存在 ] 利用極限的四則運(yùn)算求極限 極限的四則運(yùn)算法則 [4] ： 若 Axfxx ?? )(lim0， Bxgxx ?? )(lim0 （ 1） BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(l i m)(l i m)]()([l i m 000 （ 2） BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(l i m)(l i m)]()([l i m 000 （ 3）若 0?B 則： BAxgxfxgxfxxxxxx ?? ??? )(lim)(lim)()(lim000 （ 4） cAxfcxfcxxxx ???? ?? )(lim)(lim 00 （ c為常數(shù)） 上述性質(zhì)對于 ???????? xxx , 時(shí)也同樣成立 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算，首先對函數(shù)實(shí)行各種恒等變形 . 例 求極限 ? ?22lim 2 s in c o sx x x x?? ?? 解： ? ?22lim 2 s in c o sx x x x?? ??=2 2 2 2 2l i m 2 l i m si n l i m c os l i m l i mx x x x xx x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ??? = 2 22 s in c o s 2 12 2 2 4? ? ? ??? ????? ? ? ??? ?????? ???? 例 求極限 12 1lim221 ????? xxxx 8 第 8 頁 共 20 頁 解：12 1lim 2 21 ????? xxxx=)12(lim)1(lim2121 ??????? xxxxx =20 =0 例 求極限 221 1lim 21x xxx? ??? 解： 221 1lim 21x xxx? ???= ? ?? ?? ?? ?111lim 1 2 1xxx??? = ? ?? ?11 2lim 2 1 3xxx?? ?? 例 41 2 3lim 2xxx???? 解： ? ?? ?44241 2 3 2l im l im 42 1 2 3xxxxx x???? ? ??? ?? ? ? = ? ?422lim1 2 3xxx???? = ? ?2 4 2 431 8 3? ??? 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 兩個(gè)重要極限公式 [2] ：（ A） 1sinlim0 ?? xxx (B) ex xx ???? )11(lim 但我們經(jīng)常 使用的是它們的變形： 1)( )(sinlim)39。 ( ) 1( )f x r x R? ? ? ?，則 ??nx 收斂。. 2. 判斷函數(shù)的形式是不是)()(xgxf 如果是)()(xgxf，接著判斷是不是 00 或 ?? ⑴ 如果是，接著判斷是否有零因式（或無窮大因式） ① 如果有，則去零因式（或無窮大因式），再回到第一步進(jìn)行是否連續(xù)的判斷； 若有零因子，可用因式分解或泰勒展開式去零因子 。lim)( )(lim 00 不定式極限還有 ?????? ? ,0,1,0 00 等類型，經(jīng)過簡單變換，它們一般均可化為 00 型或 ?? 型的極限 . 例 求極限 xx x??0lim 解： 由對數(shù)恒等式可得 xxx ex ln? xx x??0lim = xxxe lnlim0?? 10 第 10 頁 共 20 頁 01lnlimlnlim 00 ?? ?? ??xxxxxx 1lim 00 ??? ?? ex xx 例 求極限02 c o s 4 s in 2lim 2 s inxxx???? 解：02 c o s 4 s in 2lim 2 s inxxx???? =02 si n 4 co slim 2 co sxxxx???? =4 利用函數(shù)連續(xù)性求極限 （ 1）若 )(xf 在 0xx? 處連續(xù)，則 )()(lim00 xfxfxx ?? （ 2）若 )]([ xf ? 是復(fù)合函數(shù)，又 axxx ?? )(lim0?且 )(uf 在 au? 處連續(xù)，則)()](l i m[)]([l i m 00 afxfxf xxxx ?? ?? ?? 這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限 .如果 )(xgu? 在點(diǎn) 0x 連續(xù) 00)( uxg ? ，而)( ufy ? 在點(diǎn) 0u 連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù) )]([ xgfy? 在點(diǎn) 0x 連續(xù) . 即)]([)](l i m[)]([l i m 000 xgfxgfxgf xxxx ?? ?? . 例 求極限 xx x)11ln(lim ??? 解： 令 uy ln? ， xxu )11( ?? 因?yàn)?uln 在點(diǎn) exu xx ??? ?? )11(lim0 處連續(xù) 所以 xx x)11ln(lim ??? = ])11(limln[ xx x??? = 1ln ?e 通過等式變形化為已知極限 要點(diǎn)：當(dāng)極限不宜直接求出時(shí)，可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)牡仁阶冃?，得到已知極限的新變量 . 11 第 11 頁 共 20 頁 例 求極限 1lim ? ????? xxxxx 解： 1lim ? ????? xxxxx=xxxxx 11111lim73??????=0 利用換元法求極限 當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求 . 例 求極限 xxxxx ln1lim1?? 解： 令