淺析函數(shù)極限求法的所有專業(yè)-wenkub
2023-05-18 22:13:15 本頁(yè)面
【正文】 利用積分中值定理求極限 一般根據(jù)積分第一中值定理 [4] ：若 f 在 ],[ ba 上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)],[ ba?? ，使得 ? ??ba abfdxxf ))(()( ? 將某些含有積分的變量化為一般形式再求極限 . 例 求極限 ? ??10 30 11lim dxx??]3[ 14 第 14 頁(yè) 共 20 頁(yè) 解： 由積分中值定理 ? ?10 3 11 dxx? = 113??? ， )10( ??? ， 111l i m11l i m 3010 30 ???? ?? ? ??? ?? dxx 利用定積分 求 和式 的 極限 利用定積分和式求極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù) )(xf ，把所求極限的和式表示成 )(xf 在某區(qū)間 ],[ ba 上的等分的積分和式的極限 [5] . 例 求極限 )12111(l im nnnnn ???????? ?? 解： nnnn ?????? 12111 ?? = ]11211111[1nnnnn ?????? ?? =????nk nnk1111 ○1 令 )(xf = 10,1 1 ??? xx ，則由定積分定義知 ? ???? ????10 1 11 1lim1 1 nkn nnkdxx ○2 又 ? ??10 2ln1 1 dxx ○3 由 ○ 1， ○ 2， ○ 3得 )12111(l im nnnnn ???????? ??= 2ln 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 15 第 15 頁(yè) 共 20 頁(yè) 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù) ???1n nu收斂，則 )(0 ??? nun ，運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級(jí)數(shù) ???1n nu收斂，然后得出它的通項(xiàng)極限 [6] . 例 求極限2)!(limnnnn ?? 解： 設(shè)2)!(nnann ? 則nnnnnn nnnnaa 2211 )!(])!1[( )1(limlim ???? ?????? = nn nn )11(11lim ????? =01 由比值判別法知 ???1n na收斂 由必要條件知2)!(limnnnn ??=0 利用泰勒 公 式求極限 泰勒公式是一大難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)時(shí)首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒 公式、麥克勞林公式的表達(dá)形式以及常見(jiàn)的麥克勞林展開(kāi)式 [7] .實(shí)際上，泰勒公式在證明、極限計(jì)算等方面 有著廣泛而獨(dú)到的應(yīng)用 . 泰勒定理 [8] ：若 )(xf 在 0?x 點(diǎn)有直到 1?n 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么 )(! )0(!2 )0(39。 ?xg ； （ 3） Axg xfxx ?? )(39。 )(39。( 00 ?xU 內(nèi)有 )()()( xgxhxf ?? 則 Axhxx ?? )(lim0 利用夾逼原理求極限，通常通過(guò)放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列或函數(shù)， )()()( xgxhxf ?? . 例 coslimxxxx??? 解： 因?yàn)?1 cos 1x? ? ? ，所以當(dāng) x ＜ 0時(shí) 1 1 c o s 1 111x x x xx x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? 而 11lim 1 lim 1 1xxxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 由迫斂性定理得， coslimxxxx??? =1 例 3. 2 求2sinlim 4x xxx??? ? 解： 因?yàn)楫?dāng) x ＞ 2時(shí)，2 2 2s in4 4 4x x x xx x x? ??? ? ? 而221lim lim 0441xxx xxx? ?? ? ????????，2lim 04x xx??? ?? 由迫斂性定理知 2sinlim 4x xxx??? ?=0 7 第 7 頁(yè) 共 20 頁(yè) （ 2）單調(diào)有界定理 [2] 設(shè) ??fx為定義在 ? ?00Ux?[或 ? ?00Ux?]上的單調(diào)有界函數(shù)，則 ? ?0limxxfx??存在[或 ? ?0limxxfx??存在 ] 利用極限的四則運(yùn)算求極限 極限的四則運(yùn)算法則 [4] ： 若 Axfxx ?? )(lim0， Bxgxx ?? )(lim0 （ 1） BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(l i m)(l i m)]()([l i m 000 （ 2） BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(l i m)(l i m)]()([l i m 000 （ 3）若 0?B 則： BAxgxfxgxfxxxxxx ?? ??? )(lim)(lim)()(lim000 （ 4） cAxfcxfcxxxx ???? ?? )(lim)(lim 00 （ c為常數(shù)） 上述性質(zhì)對(duì)于 ???????? xxx , 時(shí)也同樣成立 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算，首先對(duì)函數(shù)實(shí)行各種恒等變形 . 例 求極限 ? ?22lim 2 s in c o sx x x x?? ?? 解： ? ?22lim 2 s in c o sx x x x?? ??=2 2 2 2 2l i m 2 l i m si n l i m c os l i m l i mx x x x xx x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ??? = 2 22 s in c o s 2 12 2 2 4? ? ? ??? ????? ? ? ??? ?????? ???? 例 求極限 12 1lim221 ????? xxxx 8 第 8 頁(yè) 共 20 頁(yè) 解：12 1lim 2 21 ????? xxxx=)12(lim)1(lim2121 ??????? xxxxx =20 =0 例 求極限 221 1lim 21x xxx? ??? 解： 221 1lim 21x xxx? ???= ? ?? ?? ?? ?111lim 1 2 1xxx??? = ? ?? ?11 2lim 2 1 3xxx?? ?? 例 41 2 3lim 2xxx???? 解： ? ?? ?44241 2 3 2l im l im 42 1 2 3xxxxx x???? ? ??? ?? ? ? = ? ?422lim1 2 3xxx???? = ? ?2 4 2 431 8 3? ??? 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 兩個(gè)重要極限公式 [2] ：（ A） 1sinlim0 ?? xxx (B) ex xx ???? )11(lim 但我們經(jīng)常 使用的是它們的變形： 1)( )(sinlim)39。0。Ux?? （或 ? ?039。0。 Variable substitution。 淺析函數(shù)極限的求法 摘要 極限是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要組成部分 ， 它 以各種形式出現(xiàn) 且 貫
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