數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學畢業(yè)論文多元函數(shù)的極值及其實際應(yīng)用(參考版)
2024-08-05 06:21本頁面
【正文】 Lagrange乘數(shù)法(增加一個變量化條件極值問題為多元函數(shù)無條件極值問題) 求函數(shù)在條件下的極值，設(shè)二元函數(shù)和在所考慮的區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且,不同時為零，求函數(shù)在約束條件下的極值，按以下方法進行：a) 構(gòu)造輔助函數(shù)其中稱為拉格朗日乘數(shù).b) 求的偏導(dǎo)數(shù)，并建立方程組c) 解該方程組，得及，則是可能極值點的坐標.這種求條件極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.引入?yún)?shù) ,令 從第2, 3式解得 ，,代入第1式得和前面的結(jié)果相同. 驗證和進一步分析由數(shù)據(jù)計算體積為 ,即裝不下那么多飲料,為什么? 實際上,可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為3厘米,高為1厘米的錐臺,倒出來的可樂重355克,空的飲料罐重量為15克,！飲料罐不能裝滿飲料,. 一種細化模型(考慮實際所用材料)此外,諸如底部的形狀,上拱的底面,頂蓋實際上也不是平面的,略有上拱,頂蓋實際上是半徑為平方厘米的材料沖壓而成的,從頂蓋到胖的部分的斜率為, 這保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、,頂蓋的半徑為厘米,:當固定時,即所以, , 高是直徑的倍! 多元函數(shù)極值的實際應(yīng)用例1[9] [凍果汁的定價]一個小鄉(xiāng)村里的唯一商店有兩種牌子的凍果汁，當?shù)嘏谱拥倪M價每聽30美分，如果當?shù)嘏谱拥拿柯犢u美分，外地牌子的每聽賣美分，則每天可賣出聽當?shù)嘏谱拥墓?:店主每天以什么價格賣兩種牌子的凍果汁可取得最大收益？解：既然總收益為當?shù)嘏谱拥墓找媾c外地牌子的果汁收益之和，所以每天總收益為二元函數(shù)于是求每天的最大總收益，得 則有駐點.所以當美分，美分時，小店可取得最大收益.例2[3] 要制造一個無蓋的長方體水槽，已知它的底部造價為，設(shè)計的總造價為元，問如何選取它的尺寸，才能使水槽容積最大？解：設(shè)水槽的長、寬、高分別為，則容積為，由題設(shè)知即解出，得 …………………………….①將①式代入中，得二元函數(shù)……………………………………..②求對的偏導(dǎo)數(shù)：，.令，得方程組 解之， 得 再代入 ① 式中得 .由問題的實際意義得知，函數(shù) 在 時確有最大值，又因為 可微，且只有一個駐點，所以取長為，寬為，高為 時，水槽的容積最大.例3[14] 某公司通過電臺和報紙做某商品的銷售廣告，據(jù)統(tǒng)計銷售收入(萬元)與電臺廣告費(萬元)和報紙廣告費(萬元)的函數(shù)關(guān)系式 求：（1）在不限廣告費時的最優(yōu)廣告策略；（2）在僅用萬元做廣告費時的最優(yōu)廣告策略.解：（1）最優(yōu)廣告策略，即用于電臺、報紙的廣告費為多少時，可使商品的利潤最大，故目標函數(shù)為利潤函數(shù)；另據(jù)題意，則，于是令，解得所以在不限廣告費的最優(yōu)廣告策略是用于電臺和報紙的廣告費分別為萬元和萬元.據(jù)題意這是一個條件極值問題，約束條件為，一般的從這一約束條件中解出，帶入利潤函數(shù)于是將條件極值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的普通極值問題.由于，這表明關(guān)于變量是單調(diào)增加的，相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略是將其全部用與報紙廣告費用，而不做電臺廣告.或構(gòu)造輔助函數(shù)，解得有同樣的
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