數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文多元函數(shù)的極值及其實(shí)際應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 又令,令, , ,則在處是否取得極值的條件如下: 1) 時(shí)具有極值,且當(dāng)時(shí)有極大值,當(dāng)時(shí)有極小值。b) 當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí), 元函數(shù)在處取得極大值。b) 當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí), 在處取得極大值。. 例2 求 在條件 下的極值. 解: 將 代入 的表達(dá)式, 得. 令 . 解得:.得駐點(diǎn) . 而 .所以 ,且. 即 . 又由 得,所以在條件下,與 ,在點(diǎn) 處取得極小值, 在點(diǎn) 處均取得極小值且極小值為3.第 19 頁共 19 頁3多元函數(shù)極值實(shí)際應(yīng)用 最大值和最小值問題如果在有界閉區(qū)域上連續(xù),則在上必定能取得最大值和最小值. 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在的內(nèi)部,也可能在D的邊界上. 我們假定, 函數(shù)在上連續(xù)、在內(nèi)可微分且只有有限個(gè)駐點(diǎn), 這時(shí)如果函數(shù)在的內(nèi)部取得最大值(最小值), 那么這個(gè)最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 將函數(shù)在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在的邊界上的最大值和最小值相互比較,其中最大的就是最大值,如果根據(jù)問題的性質(zhì),知道函數(shù)的最大值(最小值)一定在的內(nèi)部取得,而函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在上的最大值(最小值). 多元函數(shù)極值的實(shí)際應(yīng)用的思路[8] 實(shí)際問題的提出在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時(shí), 我們經(jīng)常遇到一道經(jīng)典的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題目是“做成一個(gè)容積一定的圓柱形的無蓋(或有蓋)容器, 問應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì), 才能使用料最省, 這時(shí)圓柱的直徑和高之比為多少?” 我們知道易拉罐的主體部分是正圓柱體, : 1時(shí), , 這只是一種近似的結(jié)果, 那實(shí)際的可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大的易拉罐的包裝究竟設(shè)計(jì)成什么樣子? 頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少? 它們的形狀為什么是這樣的?通過測量得到（表格轉(zhuǎn)下一頁）:說 明尺 寸上底厚下底厚側(cè)面厚上蓋半徑正圓柱體部分半徑正圓柱部分的高圓臺高整個(gè)易拉罐高易拉罐的實(shí)際容積可樂的凈含量說明尺寸上底厚下底厚側(cè)面厚上蓋半徑正圓柱體部分半徑正圓柱部分的高圓臺高整個(gè)易拉罐高易拉罐的實(shí)際容積可樂的凈含量，根據(jù)以上數(shù)據(jù)我們對部分?jǐn)?shù)據(jù)近似取值為: 小數(shù)點(diǎn)后兩位. 分析和假設(shè) 假設(shè)除易拉罐的頂蓋外(頂蓋的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,記作. 假設(shè)硬度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上, 記頂蓋的厚度為 (測量得知,頂蓋厚度大約是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假設(shè)是模型討論過程中的全局性的假設(shè), 在以后的分布討論中, 我們可能引入新的局部性假設(shè). 模型建立及求解 明確變量和參數(shù)設(shè)飲料罐的半徑為(直徑),罐的高為,罐內(nèi)體積為,是自變量, 所用材料的體積是因變量,而和是固定參數(shù),： ,注意,飲料罐側(cè)面的體積應(yīng)為因?yàn)?,所以可以忽略. 建立模型記 其中S是目標(biāo)函數(shù),是約束條件, V是已知的(即罐內(nèi)體積一定) ,即要在體積一定的條件下求表面積最小的r, h
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