【正文】 b) 當(dāng)為負(fù)定矩陣時, 在處取得極大值。 c) 當(dāng)是不定矩陣時, 元函數(shù)在處不取得極值.　　定理1 　設(shè)函數(shù) 在 的鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且, , ,則當(dāng)時,由方程 確定的隱函數(shù)在處取得極大值。c) 當(dāng)為不定矩陣時, 在處取得極值. 其中 多變量函數(shù)的極值舉例　　例1 　求由方程 所確定的隱函數(shù)的極值.　　解　令, 由得駐點(diǎn) ,而 , ,所以. 而 為負(fù)定矩陣, 為正定矩陣,由定理2知函數(shù) 在 處取得極大值。3) 時可能有極值, 也可能沒有極值,還需另作討論.現(xiàn)將此定理推廣至一般多元函數(shù), 即有下面的定理4.定理4　設(shè), 在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直至階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又設(shè)是穩(wěn)定點(diǎn), ,記, ,即: ,再記矩陣 , 則: (1)若矩陣的各階順序主子式全大于零,就有在點(diǎn)取得極小值.(2)若矩陣的各階順序主子式全大于零,在點(diǎn)沒有極值.證明:多元函數(shù) , ,由已知 , ，其中 ,將看作是元二次型,則由文獻(xiàn)中二次型判定定理可知實(shí)二次型是正定的充分必要條件為矩陣A 的順序主子式全大于零,故當(dāng)A的各階順序主子式 全大于零時, 是正定的,當(dāng)時, ,則在點(diǎn)取得極小值,而由是負(fù)定的充要條件就是是正定的,于是當(dāng)?shù)母麟A順序主子式全大于零, 在點(diǎn)取得極大值,若矩陣有偶數(shù)階順序主子式小于零, 既非半正定也非半負(fù)定,取值可正可負(fù),在點(diǎn)沒有極值,定理3是定理4的特殊情況. 定理的應(yīng)用[11] 多元函數(shù)的最大值與最小值例1：在 坐標(biāo)面上找出一點(diǎn)，使它到三點(diǎn)、距離的平方和為最小.解：設(shè)為所求之點(diǎn)，為到、 三點(diǎn)距離的平方和，即，所以對求偏導(dǎo)數(shù)，有，即，解方程組得駐點(diǎn)，由問題的實(shí)際意義，到三點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn)一定存在，可微，又只有一個駐點(diǎn)，因此即為所求之點(diǎn). 研究下列多變量函數(shù)的極值例1, 求多元函數(shù)的極值情況.解: 由 得穩(wěn)定點(diǎn) ,二階偏導(dǎo)數(shù)，, 的各階順序主子式全大于,故在點(diǎn)取得極小值.例2, 求多元函數(shù)的極值情況.解:由得穩(wěn)定點(diǎn)及 , , 在處, ,的各階順序主子式, , 全大于零, 則在點(diǎn) 取得極小值,在點(diǎn)處,的各階順序主子式不全大于零, 此時,當(dāng)而當(dāng)均大于時,因此符號不定,故無極值, 或計(jì)算偶數(shù)階順序主子式小于因而無極值. 隱函數(shù)的極值概念和應(yīng)用　 關(guān)于顯函數(shù)的極值問題已有許多討論. 本文利用顯函數(shù)極值問題的一些結(jié)果給出了隱函數(shù)極值存在的條件,并舉出了應(yīng)用實(shí)例. 引理及定理引理[1] 若函數(shù)在的鄰域內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),且,則(1) 當(dāng)時,是函數(shù)的極小值點(diǎn)。 應(yīng)用算術(shù)幾何平均值不等式(當(dāng)時有明顯的幾何意義, 即周長相等的矩形中正方形的面積最大,三棱長相等的長方體中正方體的體積最大)., ,當(dāng)且僅時等號成立.令 ,于是有當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即,結(jié)果相同.178。2007級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文1緒論在一般的《數(shù)學(xué)分析》中，在生產(chǎn)和實(shí)際生活中，我們所要研究的極值問題，不僅僅依賴于一個或兩個因素，生產(chǎn)某種產(chǎn)品時，如何用料最省，怎樣操作，可以生產(chǎn)最多產(chǎn)品等