【正文】 2022 年 5 月 16 日，論文第二次修改完成以及開題報告指導修改完成。2022 年 5 月 5 日，在老師的指導下，進行論文的撰寫，并將初稿上交。 Application.1 抽屜原理又稱鴿巢原理、鞋箱原理或重疊原理，是一個十分簡單又十分重( 18051855)首先發(fā)現(xiàn)的，因此也叫作狄利克雷原理.抽屜原理簡單易懂，主要用于證明某些存在性或必然性的問題，不僅在數(shù)論、組合論以及集合論等領(lǐng)域中有著廣泛應用，在高等數(shù)學的其它幾門學科領(lǐng)域中也是解決問題的有效方法.本文總結(jié)了如何運用抽屜原理解決數(shù)論、離散數(shù)學、高等代數(shù)及抽象代數(shù)中的問題，對抽屜原理在高等數(shù)學中的應用進行了梳理，將抽屜原理的解題思路拓展到高等數(shù)學的其他領(lǐng)域，有助于更好地理解抽屜原理，并舉例闡述了抽屜原理在現(xiàn)實生活中的應用，以及根據(jù)抽屜原理的不足引出的 Ramsey 定理.什么是抽屜原理？先舉個簡單的例子說明，就是將 3 個球放入 2 個籃子里，無論怎么放，必有一個籃子中至少要放入 2 個球，群鴿子飛回巢中，如果鴿子的數(shù)目比鴿巢多，那么一定至少有一個鴿籠里有兩只或兩只以上的鴿子，這也是鴿巢原理這一名稱的得來.抽屜原理簡單直觀，很大的用處，對于數(shù)論、離散數(shù)學、高等代數(shù)以及抽象代數(shù)中的一些復雜問題，可以利用抽屜原理巧妙的解答出來.下面首先從抽屜原理的形式入手，然后再研究它在高等數(shù)學中的應用. 我們最常用的抽屜原理只是抽屜原理的簡單形式，就是將 n+1 個元素或者更多的元素放入 n 個抽屜中，則至少有一個抽屜里放有兩個或兩個以上的元素.除了這種比較普遍的形式外，抽屜原理還經(jīng)許多學者推廣出其他的形式. 陳景林、閻滿富在他們編著的《組合數(shù)學與圖論》一書中將抽屜原理抽象概括成以下三種形式[1]:原理 1. 把多于 個的元素按任一確定的方式分成 個集合，則一定有一個nn集合中含有兩個或兩個以上的元素.原理 2. 把 個元素任意放到 個集合里，則至少有一個集合里至mn)(m?少有 個元素，其中k2原理 3. 把無窮個元素按任一確定的方式分成有限個集合，則至少有一個集合中仍含無窮個元素.盧開澄在《組合數(shù)學》 （第三版）中將抽屜原理（書中稱為鴿巢原理）又進行了推廣[2].鴿巢原理：設(shè) k 和 n 都是任意正整數(shù)，若至少有 kn+1 只鴿子分配在 n 個鴿巢中，則至少存在一個鴿巢中有至少 k+1 只鴿子.推論 m 只鴿子和 n 個鴿巢，則至少有一個鴿巢中有不少于 +1 只???????nm1鴿子.推論 n(m1)+1 個球放入 n 個盒子里，則至少有一個盒子有 m 個球.推論 是 n 個正整數(shù)，而且 ，則12,? 12nm??中至少有一個數(shù)不小于 ,nm?另外，抽屜原理還可以用映射的形式來表示，即:設(shè) 和 是兩個有限集，AB如果 ，那么對從 到 的任何滿射 ，至少存在 , ,使ABABf1a2.??12faf? 以上的幾種形式就是我們解題時常用到的抽屜原理的表示形式，接下來，在了解了抽屜原理的基本形式以及多位學者所發(fā)展的推廣形式的基礎(chǔ)上，我們通過一些比較典型的實例來說明抽屜原理在高等數(shù)學中數(shù)論、離散數(shù)學、高等代數(shù)以及抽象代數(shù)這五個方面的應用. 數(shù)論問題中的應用 例 5 個整數(shù)中，有其中 3 個整數(shù)的和為 3 的倍數(shù).證明1mnmnk????????????　 　 　 ,　 　 當 能 整 除 時 ,　 　 　 　 　 當 不 能 整 除 時 .　 　3 將整數(shù)分為形如 3k、3k+1 及 3k+2 這 3 類形式， 則我們可以將這 3 類整數(shù)看作是 3 個抽屜，將這 5 個整數(shù)看作元素放入這3 個抽屜中. 由抽屜原理可知，至少存在 2=[ ]+1 個整數(shù)在同一抽屜中，即它們都是15?形如（3k+m）的整數(shù)，m=0,1 或 2. 如果有 3 個以上的數(shù)在同一個抽屜中，則取其中的任意三個數(shù)，它們的和是形如 3（3k+m）的整數(shù)，即三者的和為 3 的倍數(shù).如果有 2 個整數(shù)在同一個抽屜中，則由抽屜原理知，在余下的 3 個數(shù)中有2 個數(shù)在同一個抽屜中，余下的 1 3 個抽屜中各取一個數(shù)，這 3 個數(shù)的形式分別為 3k ,3k +1,3k +2,則三者的和為 3（k +k +k ）23 123+3，即為 3 的倍數(shù).例 ，而且每一組的數(shù)都是小于 n（n Z ）的互不相同的數(shù)，這??兩組數(shù)的數(shù)目個數(shù)≧n，則存在一對分別取自兩組的數(shù)使這兩個數(shù)的和為 n.證明 設(shè)這兩組數(shù)為{a ,a ,…,a }、{b ,b ,…,b }.12p12q 已知每一組的數(shù)都是小于 n（n Z ）的互不相同的數(shù).?? 不妨設(shè) a a …a , … .12p1b2q 令 c =na ,i=1,2,…, 則有 n1≧c ≧c ≧…≧c ≧ n1≧b ≧b ≧…≧b ≧ 這些未知數(shù)只能在 1,2,…,n1 中取值，我們可以將 1,2,…,n1 這 n 個數(shù)看作 n 個抽屜. 考察數(shù)集{b ,b ,…,b ，c ，c ，…，c }.12q12p 由于 p+q≧n,運用抽屜原理可知,至少有兩個數(shù)在 1,2,…,n1 之中的一個抽屜，也就是至少有兩個數(shù)取同一個值，且這兩個數(shù)分別來自 { ， ，…， }、{b ，b ，…，b }.1c2pc12q4 (此是因為，根據(jù)已知條件，{c ，c ，…，c }、{b ,b ,…,b }在各12p12q自集合中是互不相同的，假定兩個數(shù)同時取自{ ， ，…， }，也就是在這12pcp 個數(shù)當中有兩個數(shù)被同時放在同一抽屜里，則這兩個數(shù)相等，而 ,iian??互不相同，則 互不相同，兩者矛盾.)iaic 即 ,jjianb?? .ij? 離散數(shù)學中的應用 例 3 個 7 位的二進制數(shù) 7654321 cccbbbaaa 試證存在整數(shù) 和 , ，使得下列之一必然成立ij7ij?? jijijijijiji cbcaba ???解 由已知條件，在每一個縱列中，含有三個元素，分別都只由兩種選擇，即 0 或 1，則根據(jù)鴿巢原理， , 成立的時候取值的不同可以有 =6 種情況，而每一橫行共有七個元素23C?再根據(jù)鴿巢原理，必有兩列是相同的. 即 cbcaba ???,例 9 個坐標為整數(shù)的點，試證在兩兩相連的線段內(nèi)，至少存在一個坐標為整數(shù)的內(nèi)點.解 三維空間中，任意兩坐標為整數(shù)的點，若這兩點相連的線段內(nèi)不存在坐標為整數(shù)的內(nèi)點，則對于 x,y,z 這三個坐標軸，這兩點至少在一個坐標上的差值正好5是 1. 那么，在這 9 個坐標為整數(shù)的點中，任意取出一點，與這個點的三個坐標中，存在的差值正好是 1 的共有 7 類，即與 x 軸差值正好是 1，與 y 軸差值正好是1，與 z 軸差值正好是 1，與 x,y 軸差值都是 1，與 x,z 軸差值都是 1，與 y,z 軸差值都是 1，與 x,y,z 軸差值都是 1. 對于剩下的 8 個點，若存在一點 a 不滿足這 7 種情況，那么 a 點與這個點相連的線段內(nèi)必有一個坐標為整數(shù)的內(nèi)點. 若剩下的 8 個點都