【正文】 L Hospital 法則使用時，只需檢驗分母趨向無窮大即可，分子不趨向無窮大也沒關(guān)系 . 利用 Toylor 公式求極限 例 13 求極限22 220112lim(c o s ) sinxxx xx e x?? ? ?? 解 原式 =442 4 4 2 41 ()183 11 12( ) ( ( ) )2 24xxx x x x x????????? ? ? ????? 10 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 定義 3 設(shè)函數(shù) )(xf 在點 0x 的某個鄰域內(nèi)有定義 , 若極限 00 )()(lim0 xxxfxfxx ??? 存在 ,則稱函數(shù) )(xf 在 點 0x 處可導(dǎo) , 并稱該極限為函數(shù) )(xf 在點 0x 處的導(dǎo)數(shù) , 記作 )( 0xf? . 例 14 設(shè) )( 0xf? 存在 , 求 h hxfhxfh)()(lim 000????. 解 h hxfhxfh)()(lim 000???? 0 0 0 00 ( ) ( ) ( ) ( )l imh f x h f x f x f x hh? ? ? ? ? ?? 0 0 0 000( ) ( ) ( ) ( )l im l imhhf x h f x f x h f xhh??? ? ? ??? ? 00( ) ( )f x f x???? 02 ( )fx?? . 例 15 ,0)()( ?? afaxxf 可導(dǎo)，在設(shè) 求nn afnaf???????????? ???? )()1(lim . 解 這是 ?1 型極限 ,先轉(zhuǎn)化成 nafnafneaf naf 1)(ln)1(ln)()1(??????????????? ?, 其指數(shù)是 00 型極限 , 由數(shù)列極限于函數(shù)極限的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的定義知 ? ? )()(ln1 )(ln)1(lnlim 時當(dāng) axxfnafnafn ????????, 因此由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得 原式 ? ?1l n ( ) l n ( )l i m ()1l n ( ) () (nf a f anfafx fane e e x a? ? ?????? ? ? ?當(dāng) 時 ）. 注意 對于一般抽象函數(shù)求極限時 , 如果已知它的導(dǎo)數(shù)是存在的 , 則經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 . 11 利用微分中值定理求極限 用拉格朗日中值定理求極限（或柯西中值定理） 定理 5[1] (拉格朗日中值定理 )若函數(shù) )(xf 滿足如下條件： (1) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)； (2) )(xf 在開區(qū)間 ),( ba 上可導(dǎo) , 則在 ),( ba 上至少存在一點 ? ,使得 ab afbff ???? )()()(? . 例 16 求 bx xb bxbx ???lim,其中 0?b . 解 由題意 , 可對 xb 和 bx 分別應(yīng)用拉格朗日中值定理 , 則 原式 = ???????? ?????? bx bxbx bbbbbxbxlim = )ln(lim 121 ?? ? bbx bbb ?? = )1(lnln 1 ??? ? bbbbbb bbb （其中 ),(, 21 bx??? 例 17 計算 )13a r c t a n3( a r c t a nlim 2 ???? xxxx. 解 設(shè) xxf 3arctan)( ? , 由于 )(xf 在 ? ?1, ?xx 上連續(xù) , 在 )1,( ?xx 內(nèi)可導(dǎo) . 于是 , 由微分中值定理知 33( , 1 ) , ( ) a r c ta n a r c ta n1x x f xx?? ?? ? ? ? ??使223 3????, 當(dāng) ,時??x ??? , 所以 33 3lim 222 ????????? ?? ?? ???原式. 用泰勒展式求極限（或麥克勞林展式 ) 例 18 計算 4202coslim x exxx??? . 解 因為 )(821 44222 xoxxe x ????? , )(2421co s 542 xoxxx ???? , 12 所以 12181241c oslim 4202????? ?? x exxx. 注意 1 常用展式： ? ? ),(!2)1(!21c o s 1222 ?????????? nnn xonxxx ),(!!3!21 3 nnx xonxxxxe ?????????? )(11 1 2 nn xoxxxx ?????????? , )()!12()1(!3s in 21213 nnn xonxxxx ?????????? ??等 . 注意 2 在計算過程中 , 要注意高階無窮小的運算及處理 . 利用積分定義求極限 定義 4[1] 設(shè) )(xf 在 ? ?ba, 上的一個函數(shù) , J 是一個確定的實數(shù) . 若對任給的正數(shù) ? , 總存在某一正數(shù) ? , 使得對 ? ?ba, 的任何分割 T , 以及其上任意選取的點集 }{i? , 只要 ??T , 就有 1| ( ) |niii f x J??? ? ? ??, 則稱函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ? ?ba, 上可積 , 數(shù) J 稱為)(xf 在 ? ?ba, 上的定積分 , 記作 dxxfJ ba?? )(. 若用極限符號表達(dá)定積分 , 可寫作 ?? ?????baini iT dxxfxfJ )()(lim 10 ?. 例 19 求極限 2si n si nsi nl im12 1x nn nnnnn? ???? ? ? ? ???. 解 因為1 1 1si n11si n si n1 n n ni i iiiiniin n nnnnn???? ? ??????? ? ?， n?? 時， 左端極限 =1lim . s in( 1)nx inin n n? ???? ?? ? 012sin .xd x n???? ? ? ??? 時， 右端極限 13 = 121lim . si n1(1 )nx iinnn? ???? ?? ? 012sin xdx?????? 故 原式 = 2? （兩邊夾法則） . 注意 由定積分的定義我們知道 , 定積分是某一和式的極限 , 因此 , 如果關(guān)于 n 的某一和式可以表示成某一積分的形式時 , 則可利用定積分 , 求出這個和式的極限 , 顯然 , 若要利用定積分求極限 , 其關(guān)鍵在于將和式化成某一函數(shù)的積分形式 . 利用積分中值定理求極限 定理 6[1] 設(shè) )(xf 與 )(xg 都在 ? ?ba, 上連續(xù) , 且 )(xg 在 ? ?ba, 上不變號 , 則至少存在一點 ? ?ba,?? , 使得 dxxgfdxxgxf baba ?? ? )()()()( ?. 例 21 求極限 dxxxnn ? ???10 1lim. 解 取 ? ? ? ?1,0, ?ba , xxf ??11)( , nxxg ?)( , 則 )(xf 在 ??1,0 上的最小值21?m , 最大值 1?M , 由積分中值定理知 1limlim 10 ??? ???? ? ndxx nnn ??原式 . 因為 121 ??? , 所以 01lim 10 ????? dxxxnn. 利用級數(shù)求極限 利用級數(shù)展開式求極限 例 22 30 arc tans inlim x xxx ??求 解 利用冪級數(shù)的展開式 , 可得 原式37537530753!7!5!3l i m x xxxxxxxxx????????????????? =61!5151!3131lim 20 ??????? ?????????? ???????? ?? xx. 注意 從已知的展開式出發(fā) , 通過變量代換、四則運算、逐項求導(dǎo)、逐項求積定義法等直接或間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式 . 14 利用級數(shù)收斂的必要條件求 ?????? ??????? ??? nnnnndxx n ln2ln1lnlim1ln10 極限 定理 7 若級數(shù) ???1n nu收斂 , 則它的一般項 nu 趨于零 . 例 23 求 )1(lim ??? aannkn. 解 研究級數(shù) )1(0 ???? aann nk , 令nkn anu? ,用比值法 : ? ?1111 1 1l im l im l im 1 .kknnk