【正文】 二、研究目標 文章將從一元函數(shù)極值的問題開始進行研究，包括一元函數(shù)中含參量函數(shù)的極值求解方法，其次為二元函數(shù)的常用求解，再逐步推廣到多元函數(shù)極值的各種求解方法，對各種函數(shù)極值的解題方法進行了歸納與總結(jié)，并通過具體實例對各種解法進行分析類比，從中可以得出不同的函數(shù)極值問題可以有不同的解題方法，力爭總結(jié)出一些新的解題方法或者對某種算法進行適當性的改進。穩(wěn)定點可以分為局部極大值點、局部極小值點或鞍點. Note that the equation is equivalent to the equations,and So, in the two variable case, we have Lagranian function and are solving the equations:, , and .感謝王婧老師在四年大學生活中對我的照顧與關(guān)心，感謝祁萌書記和趙娟老師對我平時的指導以及對我畢業(yè)擇業(yè)時的建議，同時也要感謝陪我一起走過大學四年的同學與朋友，因為你們，我在大學四年經(jīng)歷了許許多多的學生工作經(jīng)歷，讓我受益很多。例12[16] 已知拋物面被平面截成一個橢圓，求原點到這個橢圓的的最長和最短距離?？紤]多元函數(shù)在個約束條件 下的極值。綜上可知，我們對函數(shù)極值，不管是一元函數(shù)極值，還是二元或多元函數(shù)極值的條件極值與無條件極值的求解方法做一個比較全面的了解是相當重要的。如果一個函數(shù)在一點的某一鄰域內(nèi)處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（?。@函數(shù)在該點處的值就是一個極大（?。┲?。 同樣, 如果二次型 是負定二次型(是負定矩陣) , 即，則在足夠小時, 有, 在處取極大值.[9] 多元函數(shù)極值的求法 在前面所討論二元函數(shù)極值問題的求解方法時，提到了二元函數(shù)的極值問題分為無條件極值和條件極值兩大類，同樣在多元函數(shù)（）.（1）求出函數(shù)的駐點，根據(jù)極值存在的必要條件，解方程組 解得方程組的解即為函數(shù)的駐點. （2）需要考慮一階偏導數(shù)不存在的點.（3），計算在點的矩陣， （4）再根據(jù)極值存在的充分條件判定方法，判定是否為極值點，進而并求出函數(shù)的極值.[10]例7求函數(shù)的極值解：，解方程組：， 解得駐點為又，則矩陣，顯然其各階順序主子式全都大于零，則是正定矩陣，故在取得極小值，極小值為 代入法求極值在前面的二元函數(shù)條件極值的求解方法中，已經(jīng)提到了代入法和乘數(shù)法，這兩種方法不僅僅適用于二元函數(shù)的條件極值求解方法，而且可以推廣到多元函數(shù)（）的條件極值求解。② 解方程組(5)與方程組(2)及方程(1)的聯(lián)立方程組。 當然，僅僅一個學期的論文設計，不足之處在所難免，還希望各位老師指正批評。(2) a local minimum if 0det(H1), 0det(H2) and 0det(H3)。 (5) 局部極大（?。┲到y(tǒng)稱為局部極值；全局極大（小）值統(tǒng)稱為全局極值.定義 ，如果，并且對于任意奇異點都不存在，則稱是一個關(guān)鍵點或穩(wěn)定點.結(jié)論 , 則 一定是:(1)函數(shù)的一個關(guān)鍵點, 或者(2)函數(shù)的一個奇異點, 或者 (3)定義域的一個邊界點.結(jié)論 如果函數(shù)是一個在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則在區(qū)間上有邊界并且可以取到邊界值.定義 對于任一個關(guān)鍵點，當既不是局部極大值也不是局部極小值時，叫做函數(shù)的鞍點.結(jié)論 對于一個關(guān)鍵點是鞍點當且僅當任意小時，對于函數(shù)取正值和負值.定義 如果 是二元函數(shù)，并且在點處所有二階偏導數(shù)都存在，則則根據(jù)函數(shù)在點處導數(shù)，有在點處的Hessian矩陣為：.推廣：如果 是三元函數(shù)，并且在點處所有二階偏導數(shù)都存在，則根據(jù)函數(shù)在點處導數(shù)，有在點處的Hessian矩陣為：.定義 矩陣是 階矩陣，并且對于每一個都有,從矩陣中選取左上端的行和列，(),叫做矩陣的順序主子式. 定理 假如是一個充分光滑的二元函數(shù)，且在點處穩(wěn)定，其Hessian 矩陣為H .如果，則根據(jù)偏導數(shù)判定點是：(1) 一個局部極大值點， 如果0det(H1) = fxx并且0det(H)=。四、主要技術(shù)指標或主要參數(shù)通過查找、收集、整理資料，認真細致閱讀相關(guān)參考文獻，借助所學數(shù)學知識和理論，尤其是數(shù)學分析方面極限理論、微積分理論，通過對傳統(tǒng)函數(shù)極值求法的深入再學習，研究幾類函數(shù)的無條件極值和約束條件極值的一些新的求法五、基本要求完成15000字以上的論文，2000字以上的外文翻譯六、其它（包括選題來源）需要基礎知識：數(shù)學分析等專業(yè)課知識。指導教師意見簽 名：年 月 日備注參考文獻：[1] [J]. 臨沂師專學報, 1999(12):2124. [2] [J].綿陽師范學院學報，2008，27（2）：1415.[3] 陳紀修，於崇華，—2版[M].北京：高等教育出版社，[4] ：高等教育出版社，[5] [J].綿羊師范學院學報，(2)：1415.[6] 肖翔，[J]，上海工程技術(shù)大學教育研究，2006(1): 3537[7] 莫國良，關(guān)于用代入法求條件極值的一點注記[J]，高等數(shù)學研究，2004(3):4249。z)，并且長方體的體積為V= 8xyz. 我們要求V在條件下的最大值. (注意：因為約束條件是有邊界的，故其一定存在極大或者極小值). 其Lagrange函數(shù)為并且存在穩(wěn)定點當時，也就是說，當 時.(注意：，假設 ，則可得.)因此, 用其他式子表示, 我們可以得到消去，有和進而得出 ，因此有 或者得出,同理可得出和 (根據(jù)假設可得x, y, z都是正值). 所以函數(shù) L有且僅有一個穩(wěn)定點(為某一計算可得到的常數(shù)). 又因為該點是函數(shù)L 的唯一穩(wěn)定點，則該穩(wěn)定點一定是所要求的最大值點，故其體積的最大值為.附錄三： 畢業(yè)設計（論文）任務書（函數(shù)極值的幾種求法）一、畢業(yè)設計（論文）目的掌握科學研究的基本方法；掌握查閱文獻的基本技能；增強與提高學習掌握新知識及利用數(shù)學理論解決實際問題的能力.二、主要內(nèi)容主要研究函數(shù)極值的一些求法。(3)如果對于所有點成立，則是一個全局極大值（或絕對極大值）。 (2) a local minimum if 0det(H1) = fxx and 0det(H)=。通過對多元函數(shù)條件極值的各種解法及應用的介紹，我們知道對于不同的多元函數(shù)其極值有不同的解法，針對不同的題目要求，我們應該選擇一種既簡便易行又節(jié)省時間的方法，其中拉格朗日乘數(shù)法是一種通用的方法，也是最常用的方法。應用正定判別法：，對于，有顯然矩陣式正定矩陣，是函數(shù)的極小值點，其極小值為.同理對于可得，是函數(shù)的極大值點，其極大值為.即這個橢圓到坐標原點的最長和最短距離分別為和 Jacobi矩陣法求極值設方程 (1)在某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)存在定理的所有條件,它確定的隱函數(shù)為,又設約束方程組為 (2)其中, 函數(shù)在上述鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù), 且彼此獨立.現(xiàn)在要求方程(1)給出的目標函數(shù)在約束方程組(2), 設拉格朗日函數(shù)則目標函數(shù)具有條件極值的必要條件是: (3),若目標函數(shù)在點取得條件極值, 則 滿足方程組(3).若方程組(3)有解,將代入(3)的前個方程的偏導函數(shù)中, 并用、表示點處的各偏導數(shù)值, 并以為未知數(shù)構(gòu)造線性方程組: (4)顯然方程組(4)有非零解,故方程組(4)的系數(shù)矩陣的秩, 其中由此可知方程組(3)的前個方程的所有解對應的函數(shù)矩陣也滿足. 因此矩陣A的后列元素對應的函數(shù)矩陣是函數(shù)對于一切自變量的偏導數(shù)所組成的雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,由函數(shù)的彼此獨立性知,故所以, 目標函數(shù)具有條件極值的必要條件是.將函數(shù)矩陣A 看作是在所討論的某鄰域內(nèi)某點處的各偏導數(shù)所組成的數(shù)值矩陣, 進行如下初等變換: 將A的第1列乘以加到第2列。（2） 當是負定矩陣時, 函數(shù)在點取得極大值。在生活中也經(jīng)常會求利潤最大化、用料最省、效率最高等問題。(2)都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，點為函數(shù)的一個極小值點.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點. 一元函數(shù)極值的充分必要條件函數(shù)的極值不僅僅在實際問題中占有非常重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征. 一元函數(shù)極值的必要條件費馬定理[1]告訴我們，若函數(shù)在點可導，且為的極值點，. 下面討論充分條件. 極值的第一充分條件定理1設在點處連續(xù)，在某一鄰域內(nèi)可導.①若當時，當時，則函數(shù)在點取得極小值.②若當時，當時，則函數(shù)在點 取得極大值.③如果在點的鄰域內(nèi)，不變號，則函數(shù)在點沒有極值，即不是 的極值點.證：由單調(diào)函數(shù)的增減性充要條件，在區(qū)間I上可導，在I上增（減）的充要條件是則對于①：在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，又由在處連續(xù)，故對任意，恒有即在處取得極小值.同理，對于②，在處取得極大值；對于③，由于在點的鄰域內(nèi) 不變號，故對任意，不能恒有（或），即不能判定在處取得極小值（或極大值），也就是說函數(shù)在點沒有極值， 不是的極值點.若函數(shù)是二階可導函數(shù)，則有如下班別極值定理. 極值的第二充分條件定理2[2] 設在的某一鄰域內(nèi)一階可導，在處二階可導，且,.①若，則函數(shù)在點取得極大值.②若，則函數(shù)在點取得極小值.證：由條件，可得在處的二階泰勒公式由于，因此 (1)又因，故存在正數(shù)，當時，當，(1)式取負值，從而對任意有，可得在處取極小值.對于應用二階導數(shù)無法判斷的問題，可借助更高階的導數(shù)來判斷. 極值的第三充分條件定理3[2]設在的某一鄰域內(nèi)存在直到階導函數(shù)，在處階可導，且，則①當為偶數(shù)時，函數(shù)在點取到極值，且當時取極大值，時取極小值.②當為奇數(shù)時，函數(shù)在點不取極值. 一元函數(shù)極值的求解方法一元函數(shù)極值的求解步驟[3]如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出，并在定義域內(nèi)求的全部駐點和不可導點（可能極值點）；（3）對于駐點可利用定理l或2判定，考查導函數(shù)在駐點左右鄰近的符號，確定是否是函數(shù)的極值點，如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；（4）求出各極值點的函數(shù)值，得到函數(shù)的極值.例1 求的極值點和極值解：易得的定義域為，在上連續(xù)，且當時，有顯而易見，為的穩(wěn)定點，根據(jù)定理1 ，現(xiàn)列表如下（表中↗表示遞增，↘表示遞減）：0（0,1