【正文】 二、研究目標(biāo) 文章將從一元函數(shù)極值的問題開始進(jìn)行研究，包括一元函數(shù)中含參量函數(shù)的極值求解方法，其次為二元函數(shù)的常用求解，再逐步推廣到多元函數(shù)極值的各種求解方法，對(duì)各種函數(shù)極值的解題方法進(jìn)行了歸納與總結(jié)，并通過具體實(shí)例對(duì)各種解法進(jìn)行分析類比，從中可以得出不同的函數(shù)極值問題可以有不同的解題方法，力爭(zhēng)總結(jié)出一些新的解題方法或者對(duì)某種算法進(jìn)行適當(dāng)性的改進(jìn)。穩(wěn)定點(diǎn)可以分為局部極大值點(diǎn)、局部極小值點(diǎn)或鞍點(diǎn). Note that the equation is equivalent to the equations,and So, in the two variable case, we have Lagranian function and are solving the equations:, , and .感謝王婧老師在四年大學(xué)生活中對(duì)我的照顧與關(guān)心，感謝祁萌書記和趙娟老師對(duì)我平時(shí)的指導(dǎo)以及對(duì)我畢業(yè)擇業(yè)時(shí)的建議，同時(shí)也要感謝陪我一起走過大學(xué)四年的同學(xué)與朋友，因?yàn)槟銈?，我在大學(xué)四年經(jīng)歷了許許多多的學(xué)生工作經(jīng)歷，讓我受益很多。例12[16] 已知拋物面被平面截成一個(gè)橢圓，求原點(diǎn)到這個(gè)橢圓的的最長(zhǎng)和最短距離?？紤]多元函數(shù)在個(gè)約束條件 下的極值。綜上可知，我們對(duì)函數(shù)極值，不管是一元函數(shù)極值，還是二元或多元函數(shù)極值的條件極值與無條件極值的求解方法做一個(gè)比較全面的了解是相當(dāng)重要的。如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（?。?，這函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（小）值。 同樣, 如果二次型 是負(fù)定二次型(是負(fù)定矩陣) , 即，則在足夠小時(shí), 有, 在處取極大值.[9] 多元函數(shù)極值的求法 在前面所討論二元函數(shù)極值問題的求解方法時(shí)，提到了二元函數(shù)的極值問題分為無條件極值和條件極值兩大類，同樣在多元函數(shù)（）.（1）求出函數(shù)的駐點(diǎn)，根據(jù)極值存在的必要條件，解方程組 解得方程組的解即為函數(shù)的駐點(diǎn). （2）需要考慮一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).（3），計(jì)算在點(diǎn)的矩陣， （4）再根據(jù)極值存在的充分條件判定方法，判定是否為極值點(diǎn)，進(jìn)而并求出函數(shù)的極值.[10]例7求函數(shù)的極值解：，解方程組：， 解得駐點(diǎn)為又，則矩陣，顯然其各階順序主子式全都大于零，則是正定矩陣，故在取得極小值，極小值為 代入法求極值在前面的二元函數(shù)條件極值的求解方法中，已經(jīng)提到了代入法和乘數(shù)法，這兩種方法不僅僅適用于二元函數(shù)的條件極值求解方法，而且可以推廣到多元函數(shù)（）的條件極值求解。② 解方程組(5)與方程組(2)及方程(1)的聯(lián)立方程組。 當(dāng)然，僅僅一個(gè)學(xué)期的論文設(shè)計(jì)，不足之處在所難免，還希望各位老師指正批評(píng)。(2) a local minimum if 0det(H1), 0det(H2) and 0det(H3)。 (5) 局部極大（小）值統(tǒng)稱為局部極值；全局極大（?。┲到y(tǒng)稱為全局極值.定義 ，如果，并且對(duì)于任意奇異點(diǎn)都不存在，則稱是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn).結(jié)論 , 則 一定是:(1)函數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn), 或者(2)函數(shù)的一個(gè)奇異點(diǎn), 或者 (3)定義域的一個(gè)邊界點(diǎn).結(jié)論 如果函數(shù)是一個(gè)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則在區(qū)間上有邊界并且可以取到邊界值.定義 對(duì)于任一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)既不是局部極大值也不是局部極小值時(shí)，叫做函數(shù)的鞍點(diǎn).結(jié)論 對(duì)于一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是鞍點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)任意小時(shí)，對(duì)于函數(shù)取正值和負(fù)值.定義 如果 是二元函數(shù)，并且在點(diǎn)處所有二階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則則根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，有在點(diǎn)處的Hessian矩陣為：.推廣：如果 是三元函數(shù)，并且在點(diǎn)處所有二階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，有在點(diǎn)處的Hessian矩陣為：.定義 矩陣是 階矩陣，并且對(duì)于每一個(gè)都有,從矩陣中選取左上端的行和列，(),叫做矩陣的順序主子式. 定理 假如是一個(gè)充分光滑的二元函數(shù)，且在點(diǎn)處穩(wěn)定，其Hessian 矩陣為H .如果，則根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)判定點(diǎn)是：(1) 一個(gè)局部極大值點(diǎn)， 如果0det(H1) = fxx并且0det(H)=。四、主要技術(shù)指標(biāo)或主要參數(shù)通過查找、收集、整理資料，認(rèn)真細(xì)致閱讀相關(guān)參考文獻(xiàn)，借助所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和理論，尤其是數(shù)學(xué)分析方面極限理論、微積分理論，通過對(duì)傳統(tǒng)函數(shù)極值求法的深入再學(xué)習(xí)，研究幾類函數(shù)的無條件極值和約束條件極值的一些新的求法五、基本要求完成15000字以上的論文，2000字以上的外文翻譯六、其它（包括選題來源）需要基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)學(xué)分析等專業(yè)課知識(shí)。指導(dǎo)教師意見簽 名：年 月 日備注參考文獻(xiàn)：[1] [J]. 臨沂師專學(xué)報(bào), 1999(12):2124. [2] [J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，27（2）：1415.[3] 陳紀(jì)修，於崇華，—2版[M].北京：高等教育出版社，[4] ：高等教育出版社，[5] [J].綿羊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，(2)：1415.[6] 肖翔，[J]，上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究，2006(1): 3537[7] 莫國(guó)良，關(guān)于用代入法求條件極值的一點(diǎn)注記[J]，高等數(shù)學(xué)研究，2004(3):4249。z)，并且長(zhǎng)方體的體積為V= 8xyz. 我們要求V在條件下的最大值. (注意：因?yàn)榧s束條件是有邊界的，故其一定存在極大或者極小值). 其Lagrange函數(shù)為并且存在穩(wěn)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，也就是說，當(dāng) 時(shí).(注意：，假設(shè) ，則可得.)因此, 用其他式子表示, 我們可以得到消去，有和進(jìn)而得出 ，因此有 或者得出,同理可得出和 (根據(jù)假設(shè)可得x, y, z都是正值). 所以函數(shù) L有且僅有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(為某一計(jì)算可得到的常數(shù)). 又因?yàn)樵擖c(diǎn)是函數(shù)L 的唯一穩(wěn)定點(diǎn)，則該穩(wěn)定點(diǎn)一定是所要求的最大值點(diǎn)，故其體積的最大值為.附錄三： 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書（函數(shù)極值的幾種求法）一、畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）目的掌握科學(xué)研究的基本方法；掌握查閱文獻(xiàn)的基本技能；增強(qiáng)與提高學(xué)習(xí)掌握新知識(shí)及利用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題的能力.二、主要內(nèi)容主要研究函數(shù)極值的一些求法。(3)如果對(duì)于所有點(diǎn)成立，則是一個(gè)全局極大值（或絕對(duì)極大值）。 (2) a local minimum if 0det(H1) = fxx and 0det(H)=。通過對(duì)多元函數(shù)條件極值的各種解法及應(yīng)用的介紹，我們知道對(duì)于不同的多元函數(shù)其極值有不同的解法，針對(duì)不同的題目要求，我們應(yīng)該選擇一種既簡(jiǎn)便易行又節(jié)省時(shí)間的方法，其中拉格朗日乘數(shù)法是一種通用的方法，也是最常用的方法。應(yīng)用正定判別法：，對(duì)于，有顯然矩陣式正定矩陣，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，其極小值為.同理對(duì)于可得，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，其極大值為.即這個(gè)橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)和最短距離分別為和 Jacobi矩陣法求極值設(shè)方程 (1)在某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)存在定理的所有條件,它確定的隱函數(shù)為,又設(shè)約束方程組為 (2)其中, 函數(shù)在上述鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且彼此獨(dú)立.現(xiàn)在要求方程(1)給出的目標(biāo)函數(shù)在約束方程組(2), 設(shè)拉格朗日函數(shù)則目標(biāo)函數(shù)具有條件極值的必要條件是: (3),若目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得條件極值, 則 滿足方程組(3).若方程組(3)有解,將代入(3)的前個(gè)方程的偏導(dǎo)函數(shù)中, 并用、表示點(diǎn)處的各偏導(dǎo)數(shù)值, 并以為未知數(shù)構(gòu)造線性方程組: (4)顯然方程組(4)有非零解,故方程組(4)的系數(shù)矩陣的秩, 其中由此可知方程組(3)的前個(gè)方程的所有解對(duì)應(yīng)的函數(shù)矩陣也滿足. 因此矩陣A的后列元素對(duì)應(yīng)的函數(shù)矩陣是函數(shù)對(duì)于一切自變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,由函數(shù)的彼此獨(dú)立性知,故所以, 目標(biāo)函數(shù)具有條件極值的必要條件是.將函數(shù)矩陣A 看作是在所討論的某鄰域內(nèi)某點(diǎn)處的各偏導(dǎo)數(shù)所組成的數(shù)值矩陣, 進(jìn)行如下初等變換: 將A的第1列乘以加到第2列。（2） 當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí), 函數(shù)在點(diǎn)取得極大值。在生活中也經(jīng)常會(huì)求利潤(rùn)最大化、用料最省、效率最高等問題。(2)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn). 一元函數(shù)極值的充分必要條件函數(shù)的極值不僅僅在實(shí)際問題中占有非常重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要特征. 一元函數(shù)極值的必要條件費(fèi)馬定理[1]告訴我們，若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且為的極值點(diǎn)，. 下面討論充分條件. 極值的第一充分條件定理1設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，在某一鄰域內(nèi)可導(dǎo).①若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在點(diǎn)取得極小值.②若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在點(diǎn) 取得極大值.③如果在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，不變號(hào)，則函數(shù)在點(diǎn)沒有極值，即不是 的極值點(diǎn).證：由單調(diào)函數(shù)的增減性充要條件，在區(qū)間I上可導(dǎo)，在I上增（減）的充要條件是則對(duì)于①：在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，又由在處連續(xù)，故對(duì)任意，恒有即在處取得極小值.同理，對(duì)于②，在處取得極大值；對(duì)于③，由于在點(diǎn)的鄰域內(nèi) 不變號(hào)，故對(duì)任意，不能恒有（或），即不能判定在處取得極小值（或極大值），也就是說函數(shù)在點(diǎn)沒有極值， 不是的極值點(diǎn).若函數(shù)是二階可導(dǎo)函數(shù)，則有如下班別極值定理. 極值的第二充分條件定理2[2] 設(shè)在的某一鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且,.①若，則函數(shù)在點(diǎn)取得極大值.②若，則函數(shù)在點(diǎn)取得極小值.證：由條件，可得在處的二階泰勒公式由于，因此 (1)又因，故存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，(1)式取負(fù)值，從而對(duì)任意有，可得在處取極小值.對(duì)于應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)無法判斷的問題，可借助更高階的導(dǎo)數(shù)來判斷. 極值的第三充分條件定理3[2]設(shè)在的某一鄰域內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù)，在處階可導(dǎo)，且，則①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)取到極值，且當(dāng)時(shí)取極大值，時(shí)取極小值.②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)不取極值. 一元函數(shù)極值的求解方法一元函數(shù)極值的求解步驟[3]如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出，并在定義域內(nèi)求的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（可能極值點(diǎn)）；（3）對(duì)于駐點(diǎn)可利用定理l或2判定，考查導(dǎo)函數(shù)在駐點(diǎn)左右鄰近的符號(hào)，確定是否是函數(shù)的極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；（4）求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，得到函數(shù)的極值.例1 求的極值點(diǎn)和極值解：易得的定義域?yàn)?，在上連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，有顯而易見，為的穩(wěn)定點(diǎn)，根據(jù)定理1 ，現(xiàn)列表如下（表中↗表示遞增，↘表示遞減）：0（0,1