【正文】 極小值 在點(diǎn)(1,2)處，不是函數(shù)的極值在點(diǎn)(3,0)處，不是函數(shù)的極值在點(diǎn)(3,2)處，且為極大值 綜上所述，函數(shù)極大值為，極小值為前面所討論的二元函數(shù)極值問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無(wú)其它限制條件，這類極值我們稱為無(wú)條件極值. 但是在實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，我們常會(huì)遇到除對(duì)函數(shù)的自變量有要求外，還有附加其他條件的的極值問(wèn)題. 這樣我們把對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值. 代入法求極值在約束條件中，如果能解出，即，將它代入中，那么，這就把就二元函數(shù)在約束條件的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的極值問(wèn)題.[6]例5 求在約束條件的極值解：由約束條件得，將其帶入到中，得 令，解得又，且當(dāng)時(shí)，所以，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為注意：使用代入法時(shí)，減少了函數(shù)變量，在判別極值過(guò)程中帶來(lái)了方便，但是有時(shí)約束條件不容易將表示成的函數(shù)形式（或者表示成的函數(shù)形式）.這樣情況下在求條件極值時(shí)，使用代入法就顯得比較困難,有時(shí)還有可能會(huì)出現(xiàn)遺失可能極值點(diǎn)[7].這樣的情況下，則通常采用乘數(shù)法來(lái)求函數(shù)的極值. 乘數(shù)法求極值設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（其中為某一常數(shù)）的無(wú)條件極值問(wèn)題.求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 其中為某一常數(shù)。第2章 一元函數(shù)極值的求解方法 一元函數(shù)極值定義定義1設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)任一異于的點(diǎn)，如果對(duì)該鄰域的所有的點(diǎn),(1)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)。其定義在一個(gè)有界閉區(qū)域上的每一個(gè)連續(xù)函數(shù)都必定有它的最大值和最小值，問(wèn)題在于要確定它在哪些點(diǎn)處達(dá)到最大值或最小值。如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（小），這函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（小）值。函數(shù)極值的幾種求法畢業(yè)論文目 錄摘 要 IAbstract II第1章 緒 論 1 1 1第2章 一元函數(shù)極值的求解方法 2 一元函數(shù)極值定義 2 一元函數(shù)極值的充分必要條件 2 一元函數(shù)極值的必要條件 2 極值的第一充分條件 2 極值的第二充分條件 3 極值的第三充分條件 4 一元函數(shù)極值的求解方法 4第3章 二元函數(shù)極值的求解方法 7 二元函數(shù)極值定義 7 二元函數(shù)極值的充分必要條件 7 二元函數(shù)極值必要條件 7 二元函數(shù)極值充分條件 8 8 9 代入法求極值 9 乘數(shù)法求極值 10第4章 多元函數(shù)極值的求解方法 12 多元函數(shù)極值（）定義 12 12 梯度 12 矩陣 12 多元函數(shù)極值必要條件 12 多元函數(shù)極值充分條件 13 多元函數(shù)極值的求法 14 14 15 代入法求極值 15 乘數(shù)法求極值 16 矩陣法求極值 19 梯度法求極值 24 二次方程判別式法求極值 26 標(biāo)準(zhǔn)量代換法 27結(jié) 束 語(yǔ) 29致 謝 30參 考 文 獻(xiàn) 31附 錄 i附錄一： 外文文獻(xiàn) i附錄二： 外文譯文 ix附錄三： 任務(wù)書 xvii附錄四： 開(kāi)題報(bào)告 xviii第1章 緒 論在現(xiàn)實(shí)科學(xué)生產(chǎn)實(shí)際中，存在著很多極值問(wèn)題需要去解決，函數(shù)的極值一直是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一，由于它的應(yīng)用廣泛，加之函數(shù)本身變化紛繁，所以人們對(duì)其方法的研究較多，像代入法，梯度法，利用矩陣解決函數(shù)極值，利用乘數(shù)法解決函數(shù)的極值以及其他多種方法判別極值是否存在等等。這些算法的提出與改進(jìn)，使得許多問(wèn)題很便利的得以解決，具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。極值的概念來(lái)自數(shù)學(xué)應(yīng)用中的最大值與最小值問(wèn)題。綜上可知，我們對(duì)函數(shù)極值，不管是一元函數(shù)極值，還是二元或多元函數(shù)極值的條件極值與無(wú)條件極值的求解方法做一個(gè)比較全面的了解是相當(dāng)重要的。(2)如果,則稱是函數(shù)的極小值，點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn). 二元函數(shù)極值的充分必要條件 二元函數(shù)極值必要條件 定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù), 且在點(diǎn)處有極值, 則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即 證：不妨設(shè)處有極大值，的某鄰域內(nèi)任何都有，故當(dāng)，有則一元函數(shù)處有極大值，必有類似地，可證與一元函數(shù)的情形類似，對(duì)于二元函數(shù)甚至多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).備注：具有偏導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)必然是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn). 二元函數(shù)極值充分條件定理2[5] 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又令則在處是否取得極值的條件如下: (1) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處有極值，且當(dāng)時(shí)有極小值；時(shí)有極大值；(2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處沒(méi)有極值。（3）當(dāng)是非定號(hào)陣時(shí)，函數(shù)在點(diǎn) 不取極值證:考慮函數(shù)在 點(diǎn)的展開(kāi)式: [] 因?yàn)? 所以, .因此, 函數(shù)在點(diǎn)是否取得極值完全取決于二次型 的符號(hào).如果二次型是正定二次型(是正定矩陣) , 即, 則在足夠小時(shí), , 在處取極小值。 解：設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)為，則原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求在條件下長(zhǎng)方體體積的最大值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求其對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，有，解方程組由于都不為0，解得這是唯一可能的極值點(diǎn)。考慮多元函數(shù)在個(gè)約束條件 下的極值。判定準(zhǔn)則（正定判別法）：由多元函數(shù)極值的充分必要條件可知，設(shè)為的極值點(diǎn)，令滿足式。 將A的第1列乘以加到第3列,直至將A的第1列乘以加到第+1列,可得與A等價(jià)的矩陣 , 其中由隱函數(shù)存在定理知, 對(duì)方程所確定的隱函數(shù), 有:故再將的第1列乘以得矩陣故, 且,因?yàn)楹瘮?shù)矩陣的秩為, 故中必有一個(gè)m階子式不恒為零. 不失一般性，可設(shè)的右上角的階子式,其中而且中所有包含的個(gè)+1階的加邊行列式都等于零, 其中, . (5)由此可知[13], 若由方程(1)所確定的目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得滿足約束方程組(2)的條件極值, 則點(diǎn)必滿足方程組(5) .綜合以上, 可得求方程(1)所確定的目標(biāo)函數(shù)滿足約束方程組(2)的條件極值的如下方法[14]:① 選定不恒為零的階子式D,寫出方程組(5),即, 。也就是說(shuō)，表面積為的長(zhǎng)方體中，以棱長(zhǎng)為的正方體體積最大，最大體積。例12[16] 已知拋物面被平面截成一個(gè)橢圓，求原點(diǎn)到這個(gè)橢圓的的最長(zhǎng)和最短距離。根據(jù)判別式的正負(fù)關(guān)系從而判定根的是否存在性。通過(guò)本文知道，除了拉格朗日乘數(shù)法、雅可比矩陣法和梯度法外，其余條件極值解法均為初等數(shù)學(xué)的方法，掌握好初等數(shù)學(xué)的方法求解多元函數(shù)條件極值有時(shí)候會(huì)更簡(jiǎn)單，但其使用的過(guò)程中具有一定的技巧性，也有一定的局限性，需要根據(jù)具體情況具體分析。本次學(xué)位論文是在我的導(dǎo)師楊建偉老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的。感謝王婧老師在四年大學(xué)生活中對(duì)我的照顧與關(guān)心，感謝祁萌書記和趙娟老師對(duì)我平時(shí)的指導(dǎo)以及對(duì)我畢業(yè)擇業(yè)時(shí)的建議，同時(shí)也要感謝陪我一起走過(guò)大學(xué)四年的同學(xué)與朋友，因?yàn)槟銈儯以诖髮W(xué)四年經(jīng)歷了許許多多的學(xué)生工作經(jīng)歷，讓我受益很多。(3) a global (or absolute) maximum iffor all points 。 (3) a saddle point if neither of the above hold.where the partial derivatives are evaluated at.Suppose that is a sufficiently smooth function of three variables with a critical point at and Hessian H , then is:(1) a local maximum if 0det(H1), 0det(H2) and 0det(H3)。To find the extreme values of a function on a closed bounded set it is necessary to consider the value of the function at stationary points(), singular points (does not exist) and boundary points(points on the edge of the set).Note that the equation is equivalent to the equations,and So, in the two variable case, we have Lagranian function and are solving the equations:, , and .y,177。(4) 如果對(duì)于所有點(diǎn)成立，則是一個(gè)全局極小值（或絕對(duì)極小值）。(2) 一個(gè)局部極小值點(diǎn)， 如果當(dāng)0det(H1), 0det(H2) 并且 0det(H3)時(shí)。穩(wěn)定點(diǎn)可以分為局部極大值點(diǎn)、局部極小值點(diǎn)或鞍點(diǎn). 當(dāng)限制條件大于一個(gè)時(shí)，我們則需要解決以下方程.定理 使并且是曲線C上的一個(gè)點(diǎn), 有方程 g(x,y) = 0成立，則在限制條件C ，點(diǎn)不是曲線的端點(diǎn)，且. 因此存在的值使得點(diǎn)是Lagrange函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn).. 因?yàn)辄c(diǎn)不是曲線的端點(diǎn)，且,則曲線在點(diǎn)處的切線與有關(guān). 如果在點(diǎn)處與平行， f 的值隨著在的運(yùn)動(dòng)增加減小,所以點(diǎn)不是極值點(diǎn). 因?yàn)楹推叫?，所以存在使得成? 例. 求內(nèi)接于橢球的體積最大的長(zhǎng)方體的體積，長(zhǎng)方體的各個(gè)面平行于坐標(biāo)面 解：明顯地，當(dāng)長(zhǎng)方體的體積最大時(shí)，長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)一定在橢球上. 設(shè)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y, z) (x0, y0, z0), 則長(zhǎng)方體的其他頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(177。三、重點(diǎn)研究問(wèn)題重點(diǎn)研究多元函數(shù)極值的一些求法。因此解決這些問(wèn)題具有現(xiàn)實(shí)意義,通常這些經(jīng)濟(jì)和生活問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問(wèn)題來(lái)探討，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)中最大（?。┲档膯?wèn)題，也即函數(shù)的極值問(wèn)題。二、研究目標(biāo) 文章將從一元函數(shù)極值的問(wèn)題開(kāi)始進(jìn)行研究，包括一元函數(shù)中含參量函數(shù)的極值求解方法，其次為二元函數(shù)的常用求解，再逐步推廣到多元函數(shù)極值的各種求解方法，對(duì)各種函數(shù)極值的解題方法進(jìn)行了歸納與總結(jié)，并通過(guò)具體實(shí)例對(duì)各種解法進(jìn)行分析類比，從中可以得出不同的函數(shù)極值問(wèn)題可以有不同的解題方法，力爭(zhēng)總結(jié)出一些新的解題方法或者對(duì)某種算法進(jìn)行適當(dāng)性的改進(jìn)。第4周到第5周： 進(jìn)行資料查閱，知識(shí)的回顧復(fù)習(xí)，以確定主要努力的方向和目標(biāo)。xx