淺談數(shù)列極限的求法(參考版)
2024-11-15 05:24本頁(yè)面
【正文】 165。證明：任給的e0，對(duì)于一切正整數(shù)n，xnC=CC=0e，所以limxn=C。n174。例題2 設(shè)xn186。235。2249。165。e2249。165。e0,$N,nNxna：例題講解n+2(1)=1。+165。若取e=1，則存在N=1000，當(dāng)nN時(shí)，xnae。為例，欲若取e=，則存在N=100，當(dāng)nNxnae； 100n238。以數(shù)列237。1236。不等式xnae是表示xn與a的接近程度，所以e可以任意的小。如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的。n174。+165。寫(xiě)作：limxn=a或xn174。內(nèi)容講授（定義板書(shū)）設(shè){xn}是一個(gè)數(shù)列，a是實(shí)數(shù)?？墒侵粦{定性的描述和觀察很難做到準(zhǔn)確無(wú)誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)數(shù)列的概念。此處“n趨近于+165。時(shí)，xn不斷接近于某一個(gè)常數(shù)a。254。253。(1)n252。n254。253。1252?？偨Y(jié)：極限是變量變化趨勢(shì)結(jié)果的預(yù)測(cè)。第一天的長(zhǎng)度1第二天的剩余長(zhǎng)度 第二天的剩余長(zhǎng)度第四天的剩余長(zhǎng)度 8.....第n天的剩余長(zhǎng)度n1.......2隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長(zhǎng)度越來(lái)越短，越來(lái)越接近0。隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷1接近圓的面積。.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6180。通過(guò)學(xué)習(xí)概念，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科知識(shí)的融會(huì)貫通，從哲學(xué)的量變到質(zhì)變的思想的角度來(lái)看待數(shù)列極限概念。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限eN語(yǔ)言的刻畫(huà)，簡(jiǎn)單數(shù)列的極限進(jìn)行證明。極限概念是從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過(guò)渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。231。165。, n說(shuō)明：當(dāng)作公式利用：limq=231。q1,231。230。n若0q1, xn0=qe, nlnqlne，n\nlnelne, 取N=[](+1), 則當(dāng)nN時(shí), 就有qn0e, lnqlnq\limqn=174。n174。n證任給e0(要求εn174。n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí), 關(guān)鍵是任意給定e0,尋找N, =0, 其中q174。e是成立n+(1)n111==nnn+(1)n1=174。N+11e，即得1e成nn+(1)n11111=en235。1249。163。n重要說(shuō)明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對(duì)任給的e0,給出限制0e1；n+(1)n11e”的詳細(xì)推理（2）邏輯“取 N=[], 則當(dāng)nN時(shí), 就有ne1見(jiàn)下，以后不再重復(fù)說(shuō)明或解釋，=234。nn+(1)n111 =.證注意到xn1 =nn任給e0, 若要xn1e, 只要11e,或 n, ne所以, 取 N=[], 則當(dāng)nN時(shí), 就有 1en+(1)n11+(1)n1=174。$::ae2ea+exN+2x2x1xN+1ax3x當(dāng)nN時(shí), 所有的點(diǎn)xn都落在(ae,a+e)內(nèi), 只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))：+(1)n1= 證明limn174。165。如果數(shù)列沒(méi)有極限, ：eN定義:limxn=a219。).n174。a(n174。165。lim1=px174。4x174。cosx42lim(xtanx1)=limxppx174。4解: 由xtanx=xsinxp2及l(fā)imsinx=sin==limcosx，有 ppx174。0則，必須要對(duì)變量進(jìn)行變形，設(shè)法消去分子、分母中的零因子，在變形時(shí)，要熟練掌握因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形。x0利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則求極限，條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限都存在，一般所給的變量都不滿足這個(gè)條件，如165。x0x174。0，則在x174。x0②lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)；limf(x)f(x)f(x)x174。x0x174。limg(x)； x174。x0[f(x)177。x0時(shí)也存在極限，且有①limx174。x0x174。0 利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則求極限定理2 若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f(x)177。0x174。0x174。0x174。0 x=0,求f(x)在x=+x2x0238。2xx0239。x0x174。lim+x174。x174。首先必須考慮分段點(diǎn)處的左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。2時(shí),f的函數(shù)值趨于一個(gè)定數(shù)。這是因?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0過(guò)程中函數(shù)值的變化趨勢(shì)。一般來(lái)說(shuō)，e愈小，d也相應(yīng)地要小一些，而且把d取得更小一些也無(wú)妨，如在題1中可取d=e2或d=e3等等。2時(shí)，f(x)4=x2故對(duì)給定的e0，只要取d=e，則當(dāng)0x2d時(shí)，有f(x)4(x)=174。x0x24例1設(shè)f(x)=,證明limf(x)=174。x0)。）0xx0d時(shí)，有f(x)Ae成立，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限，記作limf(x)=A或f(x)174。)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某空心鄰域，使得當(dāng)U0(x0。本文給出了十七種求極限的方法，每種方法都是以定理或簡(jiǎn)述開(kāi)頭，然后以例題來(lái)全面展示具體的求法。對(duì)某個(gè)具體的求極限的問(wèn)題，我們應(yīng)該追求最簡(jiǎn)便的方法。函數(shù)極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本運(yùn)算，一部分函數(shù)的極限可以通過(guò)直接或間接的運(yùn)用“極限四則運(yùn)算法則”來(lái)求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過(guò)特殊方法解決。兩類極限的本質(zhì)
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