【導(dǎo)讀】淺析函數(shù)極限的求法。極限是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要組成部分，它以各種形式出現(xiàn)且貫穿在全部?jī)?nèi)容?？芍^是多種多樣.首先本文先給出了函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)；其次歸納和總結(jié)。求函數(shù)極限的思路、步驟，使初學(xué)者能較快地掌握求函數(shù)極限方法.

　　

【正文】 fx x?? ? ， ??nx 由下列遞推公式定義 0 1x? ，1 ()nnx f x? ? ( 0,1,2, )n? ??? 求 limnn x?? 解 ： 因?yàn)? 2 111nn nnxx xx? ?? ? ??? 又因?yàn)? 1 1 1 2 2 121 1 1( ) ( ) 2 4 2n n n n n n n n nx x f x f x x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?， 39。 2 2 2( 1 ) ( 2 ) 1 1() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )xxfx x x x? ? ? ?? ? ?? ? ?， 39。 211() ( 1) 2f ? ???? ， 1nnxx?? ?? ，所以 nx 收斂。 因?yàn)? 2() 1nnn nxx f x x? ??? ?，設(shè) limnn xa?? ?， 對(duì)兩邊取極限得 21aa a?? ? 所以 2a? ， 2? 不合題意（由極限的保號(hào)性可知） 所以 limnn x?? 2? 18 第 18 頁(yè) 共 20 頁(yè) 4 求極限的一般流程 一般流程圖如下所示： 19 第 19 頁(yè) 共 20 頁(yè) 圖 1 求函數(shù)極限流程圖 求函數(shù)極限的方法較多 ,但是每種方法都有其局限性 ,都不是萬(wàn)能的 .對(duì)某個(gè)具體的求極限的問(wèn)題 ,我們應(yīng)該追求最簡(jiǎn)便的方法 .在求極限的過(guò)程中 ,必然以相 關(guān)的概念、定理及公式為依據(jù) ,并借助一些重要的方法和技巧 . 對(duì)求函數(shù)極限流程圖的說(shuō)明 N Y N 通分 Y N Y Y N Y N N N Y N Y Y N Y N Y 輸入 )(xf 連續(xù) 輸出 gf 00 有零因式 去零因式 gf? ?? ??0 洛必達(dá)法則 有無(wú)窮大因式 去無(wú)窮大因式 00????cc ???? ?? MM 00 gf ??? 利用其他方法求極限 20 第 20 頁(yè) 共 20 頁(yè) 1. 判斷函數(shù)是否連續(xù)，若連續(xù)直接用極限的四則運(yùn)算解之，如例 ；。. 2. 判斷函數(shù)的形式是不是)()(xgxf 如果是)()(xgxf，接著判斷是不是 00 或 ?? ⑴ 如果是，接著判斷是否有零因式（或無(wú)窮大因式） ① 如果有，則去零因式（或無(wú)窮大因式），再回到第一步進(jìn)行是否連續(xù)的判斷； 若有零因子，可用因式分解或泰勒展開(kāi)式去零因子 。若有無(wú)窮因子，可通過(guò)衡等變化去無(wú)窮因子 . ② 如果沒(méi)有，則應(yīng)用洛必達(dá)法則，再回到第一步進(jìn)行是否連續(xù)的判斷； ⑵ 如果不是，則是形如 ,0?cc c? 的極限，顯然可直接得出答案； 如果不是)()(xgxf，接著判斷是不是 )()( xgxf ? ⑴ 如果是 )()( xgxf ? ，接著判斷是不是 ??0 ① 如果是，則轉(zhuǎn)到 ； ② 如果不是，則是形如 MM ??? ,0 的極限，顯然可直接得出答案； ⑵ 如果不是 )()( xgxf ? ，接著判斷是不是 )()( xgxf 的形式 ① 如果是，應(yīng)用自然對(duì)數(shù)法求極限，則可轉(zhuǎn)到 ； ② 如果不是，則判斷是不是 ??? 的形式 (如果是，通分可后轉(zhuǎn)到 2.。如果不是，則歸結(jié)為其他類(lèi)型的極限，用兩邊夾定理 積分中值定理、級(jí)數(shù)收斂的必要條件等其他方法來(lái)求解 ,可轉(zhuǎn)到 ， ， .) 不同的函數(shù)形式，可采用不同的極限求法，如上文歸納的求極限的方法 .不管用什么方法，目的都是要簡(jiǎn)化函數(shù)，化為已知極限 . 21 第 21 頁(yè) 共 20 頁(yè) 結(jié)論 在選擇求極限方法時(shí)，首先要分析函數(shù)的特點(diǎn)，確定函數(shù)式的類(lèi)型，然后根據(jù)函數(shù)的類(lèi)型和 特點(diǎn)來(lái)決定用何種方法去求函數(shù)的極 限 .極限是描述數(shù)列和函數(shù) 22 第 22 頁(yè) 共 20 頁(yè) 的變化趨勢(shì) ,該趨勢(shì)是以自變量的變化過(guò)程為前提 ,所以在判斷極限所屬的類(lèi)型時(shí) ,一定要以自變量的變化過(guò)程為前提 ,而不能單純只看函數(shù)式 ,否則必錯(cuò)無(wú)疑 . 把求數(shù)列極限化為求函數(shù)極限 ,就給求數(shù)列極限開(kāi)辟了廣闊的天地 .這是因?yàn)榍蠛瘮?shù)極限可以有多種方法 ,針對(duì)不同函數(shù)的特點(diǎn) ,可利用函數(shù)的連續(xù)性、洛必達(dá) ()法則 ,函數(shù)的泰勒 (Taylor)展開(kāi)式等 ,但也應(yīng)該明白 ,并不是任何數(shù)列極限問(wèn)題都能轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限問(wèn)題的 ,例如 ,當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)本身呈現(xiàn) n 項(xiàng)之和或積的形式時(shí)就不能按海涅定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極 限了 . 本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的一些常用方法 .以上只是眾多求解極限方法的一小部分，或許并不全面，讀者如果有興趣可以繼續(xù)探索新的求解方法 .因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)博大精深，我們目前只接觸到一點(diǎn)點(diǎn)而已，雖然我們還處在那數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)層，但這并不妨礙我們對(duì)數(shù)學(xué)的喜愛(ài)與學(xué)習(xí) ,我們應(yīng)不停的接受知識(shí) . 總之，在求函數(shù)極限的過(guò)程就是綜合運(yùn)用各種方法的過(guò)程，只有真正理解每一種求解函數(shù)極限方法需要滿足的條件及實(shí)質(zhì)，以及各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系 ,才能在求函數(shù)極限的過(guò)程中游刃有余 ,且受其益于生活實(shí)踐 . 參考文獻(xiàn) [1]王盛群等 .高等數(shù)學(xué) [M].山東 :山東大學(xué)出版社， 1993. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 [M].北京 :高等教育出版社 ,2020. [3]錢(qián)吉林 .數(shù)學(xué)分析題解精粹 [M].湖北 :眾邦考試教育研究所 ,2020. [4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 .微積分 [M].北京 :高等教育出版社 ,2020. 23 第 23 頁(yè) 共 20 頁(yè) [5]尹國(guó)成 .常見(jiàn)函數(shù)極限的求法 [J].保山師專(zhuān)學(xué)報(bào) ,2020,(6):13. [6]宋顥 .函數(shù)極限的求法探討 [J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè) ,2020,(12):360361. [7]劉玉璉等 .數(shù)學(xué)分析講義 [M].北京 :高等教育出版 社 ,1992. [8]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 .高等數(shù)學(xué)習(xí)題集 [M].北京 :高等教育出版社 ,1998. [9] Wolfgang B. Jurkat. Ein funktionentheoretischer Beweis furoTaubersitze bei den Verfahren von Borel und EulerKnopp. [J].Archiv der Mathematik,1956,7(4) [10] Balazs Szegedy. Characters of the Borel and Sylow subgroups of classical groups. [J].Journal of Algebra,2020,267(1) 致謝 這次畢業(yè)論文能夠得以順利完成，自始至終都是由楊玉敏老師全面、具體的指導(dǎo)之下進(jìn)行的，多次幫我修改論文，還給予我 很多寶貴的意見(jiàn)和建議 .楊玉敏老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?治學(xué)態(tài)度和對(duì)工作的兢兢業(yè)業(yè)、一絲不茍的精神將永遠(yuǎn)激勵(lì)和鞭策我認(rèn)真學(xué)習(xí)、努力工作 . 在楊老師那里，我不僅學(xué)習(xí)到了廣泛的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，更重要的是她那淵博的知識(shí)，無(wú)私的奉獻(xiàn)精神，孜孜不倦的教誨給了 我深深的啟迪 .在我做本文的過(guò)程中無(wú)不傾注著楊玉敏老師的心血和汗水 .在此，我要向我的畢業(yè)論文指導(dǎo)教師楊玉敏老師致以衷心的感謝和深深的敬意！衷心感謝每一位教導(dǎo)過(guò)我的老師，是他們 24 第 24 頁(yè) 共 20 頁(yè) 使我擁有良好的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)，因而有能力完成這一畢業(yè)論文 . 感謝身邊所有的朋友與同學(xué)，謝謝你們四年來(lái)的關(guān)照與寬容，與你們一起走過(guò)的繽紛時(shí)代，將會(huì)是我一生最珍貴的回憶 .