【導讀】淺析函數極限的求法。極限是數學分析的一個重要組成部分，它以各種形式出現(xiàn)且貫穿在全部內容?？芍^是多種多樣.首先本文先給出了函數極限的定義及其性質；其次歸納和總結。求函數極限的思路、步驟，使初學者能較快地掌握求函數極限方法.

　　

【正文】 fx x?? ? ， ??nx 由下列遞推公式定義 0 1x? ，1 ()nnx f x? ? ( 0,1,2, )n? ??? 求 limnn x?? 解 ： 因為1 2 111nn nnxx xx? ?? ? ??? 又因為1 1 1 1 2 2 121 1 1( ) ( ) 2 4 2n n n n n n n n nx x f x f x x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?， 39。 2 2 2( 1 ) ( 2 ) 1 1() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )xxfx x x x? ? ? ?? ? ?? ? ?， 39。 211() ( 1) 2f ? ???? ， 1nnxx?? ?? ，所以 nx 收斂。 因為1 2() 1nnn nxx f x x? ??? ?，設 limnn xa?? ?， 對兩邊取極限得 21aa a?? ? 所以 2a? ， 2? 不合題意（由極限的保號性可知） 所以 limnn x?? 2? 18 第 18 頁 共 20 頁 4 求極限的一般流程 一般流程圖如下所示： 19 第 19 頁 共 20 頁 圖 1 求函數極限流程圖 求函數極限的方法較多 ,但是每種方法都有其局限性 ,都不是萬能的 .對某個具體的求極限的問題 ,我們應該追求最簡便的方法 .在求極限的過程中 ,必然以相 關的概念、定理及公式為依據 ,并借助一些重要的方法和技巧 . 對求函數極限流程圖的說明 N Y N 通分 Y N Y Y N Y N N N Y N Y Y N Y N Y 輸入 )(xf 連續(xù) 輸出 gf 00 有零因式 去零因式 gf? ?? ??0 洛必達法則 有無窮大因式 去無窮大因式 00????cc ???? ?? MM 00 gf ??? 利用其他方法求極限 20 第 20 頁 共 20 頁 1. 判斷函數是否連續(xù)，若連續(xù)直接用極限的四則運算解之，如例 ；。. 2. 判斷函數的形式是不是)()(xgxf 如果是)()(xgxf，接著判斷是不是 00 或 ?? ⑴ 如果是，接著判斷是否有零因式（或無窮大因式） ① 如果有，則去零因式（或無窮大因式），再回到第一步進行是否連續(xù)的判斷； 若有零因子，可用因式分解或泰勒展開式去零因子 。若有無窮因子，可通過衡等變化去無窮因子 . ② 如果沒有，則應用洛必達法則，再回到第一步進行是否連續(xù)的判斷； ⑵ 如果不是，則是形如 ,0?cc c? 的極限，顯然可直接得出答案； 如果不是)()(xgxf，接著判斷是不是 )()( xgxf ? ⑴ 如果是 )()( xgxf ? ，接著判斷是不是 ??0 ① 如果是，則轉到 ； ② 如果不是，則是形如 MM ??? ,0 的極限，顯然可直接得出答案； ⑵ 如果不是 )()( xgxf ? ，接著判斷是不是 )()( xgxf 的形式 ① 如果是，應用自然對數法求極限，則可轉到 ； ② 如果不是，則判斷是不是 ??? 的形式 (如果是，通分可后轉到 2.。如果不是，則歸結為其他類型的極限，用兩邊夾定理 積分中值定理、級數收斂的必要條件等其他方法來求解 ,可轉到 ， ， .) 不同的函數形式，可采用不同的極限求法，如上文歸納的求極限的方法 .不管用什么方法，目的都是要簡化函數，化為已知極限 . 21 第 21 頁 共 20 頁 結論 在選擇求極限方法時，首先要分析函數的特點，確定函數式的類型，然后根據函數的類型和 特點來決定用何種方法去求函數的極 限 .極限是描述數列和函數 22 第 22 頁 共 20 頁 的變化趨勢 ,該趨勢是以自變量的變化過程為前提 ,所以在判斷極限所屬的類型時 ,一定要以自變量的變化過程為前提 ,而不能單純只看函數式 ,否則必錯無疑 . 把求數列極限化為求函數極限 ,就給求數列極限開辟了廣闊的天地 .這是因為求函數極限可以有多種方法 ,針對不同函數的特點 ,可利用函數的連續(xù)性、洛必達 ()法則 ,函數的泰勒 (Taylor)展開式等 ,但也應該明白 ,并不是任何數列極限問題都能轉化為函數極限問題的 ,例如 ,當數列的通項本身呈現(xiàn) n 項之和或積的形式時就不能按海涅定理轉化為函數的極 限了 . 本文主要歸納了數學分析中求極限的一些常用方法 .以上只是眾多求解極限方法的一小部分，或許并不全面，讀者如果有興趣可以繼續(xù)探索新的求解方法 .因為數學知識博大精深，我們目前只接觸到一點點而已，雖然我們還處在那數學的基礎層，但這并不妨礙我們對數學的喜愛與學習 ,我們應不停的接受知識 . 總之，在求函數極限的過程就是綜合運用各種方法的過程，只有真正理解每一種求解函數極限方法需要滿足的條件及實質，以及各種方法之間的內在聯(lián)系 ,才能在求函數極限的過程中游刃有余 ,且受其益于生活實踐 . 參考文獻 [1]王盛群等 .高等數學 [M].山東 :山東大學出版社， 1993. [2]華東師范大學數學系 .數學分析 [M].北京 :高等教育出版社 ,2020. [3]錢吉林 .數學分析題解精粹 [M].湖北 :眾邦考試教育研究所 ,2020. [4]同濟大學數學系 .微積分 [M].北京 :高等教育出版社 ,2020. 23 第 23 頁 共 20 頁 [5]尹國成 .常見函數極限的求法 [J].保山師專學報 ,2020,(6):13. [6]宋顥 .函數極限的求法探討 [J].現(xiàn)代商貿工業(yè) ,2020,(12):360361. [7]劉玉璉等 .數學分析講義 [M].北京 :高等教育出版 社 ,1992. [8]同濟大學應用數學系 .高等數學習題集 [M].北京 :高等教育出版社 ,1998. [9] Wolfgang B. Jurkat. Ein funktionentheoretischer Beweis furoTaubersitze bei den Verfahren von Borel und EulerKnopp. [J].Archiv der Mathematik,1956,7(4) [10] Balazs Szegedy. Characters of the Borel and Sylow subgroups of classical groups. [J].Journal of Algebra,2020,267(1) 致謝 這次畢業(yè)論文能夠得以順利完成，自始至終都是由楊玉敏老師全面、具體的指導之下進行的，多次幫我修改論文，還給予我 很多寶貴的意見和建議 .楊玉敏老師嚴謹的 治學態(tài)度和對工作的兢兢業(yè)業(yè)、一絲不茍的精神將永遠激勵和鞭策我認真學習、努力工作 . 在楊老師那里，我不僅學習到了廣泛的專業(yè)知識，更重要的是她那淵博的知識，無私的奉獻精神，孜孜不倦的教誨給了 我深深的啟迪 .在我做本文的過程中無不傾注著楊玉敏老師的心血和汗水 .在此，我要向我的畢業(yè)論文指導教師楊玉敏老師致以衷心的感謝和深深的敬意！衷心感謝每一位教導過我的老師，是他們 24 第 24 頁 共 20 頁 使我擁有良好的專業(yè)基礎，因而有能力完成這一畢業(yè)論文 . 感謝身邊所有的朋友與同學，謝謝你們四年來的關照與寬容，與你們一起走過的繽紛時代，將會是我一生最珍貴的回憶 .