【正文】 . 2. 判斷函數的形式是不是)()(xgxf 如果是)()(xgxf，接著判斷是不是 00 或 ?? ⑴ 如果是，接著判斷是否有零因式（或無窮大因式） ① 如果有，則去零因式（或無窮大因式），再回到第一步進行是否連續(xù)的判斷； 若有零因子，可用因式分解或泰勒展開式去零因子 。 例 設 2() 1xfx x?? ? ， ??nx 由下列遞推公式定義 0 1x? ，1 ()nnx f x? ? ( 0,1,2, )n? ??? 求 limnn x?? 解 ： 因為1 2 111nn nnxx xx? ?? ? ??? 又因為1 1 1 1 2 2 121 1 1( ) ( ) 2 4 2n n n n n n n n nx x f x f x x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?， 39。1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n nx x f x f x f x x x r x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，2,3n? ??? 即此時 11n n n nx x r x x??? ? ?， 01r??也成立，故由 1可知 ??nx 收斂 注 此定理可以與單調有界定理和起來證明遞推數列的收斂。 ( ) 1( )f x r x R? ? ? ?，則 ??nx 收斂。lim)( )(lim 00 不定式極限還有 ?????? ? ,0,1,0 00 等類型，經過簡單變換，它們一般均可化為 00 型或 ?? 型的極限 . 例 求極限 xx x??0lim 解： 由對數恒等式可得 xxx ex ln? xx x??0lim = xxxe lnlim0?? 10 第 10 頁 共 20 頁 01lnlimlnlim 00 ?? ?? ??xxxxxx 1lim 00 ??? ?? ex xx 例 求極限02 c o s 4 s in 2lim 2 s inxxx???? 解：02 c o s 4 s in 2lim 2 s inxxx???? =02 si n 4 co slim 2 co sxxxx???? =4 利用函數連續(xù)性求極限 （ 1）若 )(xf 在 0xx? 處連續(xù)，則 )()(lim00 xfxfxx ?? （ 2）若 )]([ xf ? 是復合函數，又 axxx ?? )(lim0?且 )(uf 在 au? 處連續(xù)，則)()](l i m[)]([l i m 00 afxfxf xxxx ?? ?? ?? 這種方法適用于求復合函數的極限 .如果 )(xgu? 在點 0x 連續(xù) 00)( uxg ? ，而)( ufy ? 在點 0u 連續(xù)，那么復合函數 )]([ xgfy? 在點 0x 連續(xù) . 即)]([)](l i m[)]([l i m 000 xgfxgfxgf xxxx ?? ?? . 例 求極限 xx x)11ln(lim ??? 解： 令 uy ln? ， xxu )11( ?? 因為 uln 在點 exu xx ??? ?? )11(lim0 處連續(xù) 所以 xx x)11ln(lim ??? = ])11(limln[ xx x??? = 1ln ?e 通過等式變形化為已知極限 要點：當極限不宜直接求出時，可考慮將求極限的變量作適當的等式變形，得到已知極限的新變量 . 11 第 11 頁 共 20 頁 例 求極限 1lim ? ????? xxxxx 解： 1lim ? ????? xxxxx=xxxxx 11111lim73??????=0 利用換元法求極限 當一個函數的解析式比較復雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求 . 例 求極限 xxxxx ln1lim1?? 解： 令 1?? xxt ，則 )1ln(ln ?? txx xxxxx ln1lim1 ?? = 111lim)1ln (lim 00 ???? ?? t ttttt 利用自然對數法求極限 自然對數法：把形如 )()( xgxf 通過恒等變形寫成 )(ln)( xfxg 的形式 ,改為求 00 或 ?? 不定式的極限 . 例 求極限 xx xx cos1 10 )sin(lim ?? 解： 用自然對數法，令 y= xxx cos1 1)sin( ? 取自然對數得 x xxy s inlnc os1 1ln ?? 12 第 12 頁 共 20 頁 2s i nlnl i ms i nlnc os1 1l i m 200 x xxxxx xx ?? ??? = x x xxxxxx20s inc o ss inlim??? =3020 s i nc osl i ms i n s i nc osl i m x xxxxx xxx xx ??? ?? =313sinlim 20 ???? x xxx 31c os1 10 )s in(lim ??? ?? ex x xx 利用因式分解法求極限 要點：如果可以通過因式分解將變量化簡或轉化為已知的極限，即可利用此方法求變量極限 . 例 就極限2s in3s in 1s in3s in4lim 222 ????? xxxxx ? 解 ： 222224 si n 3 si n 1li msi n 3 si n 2( 4 si n 1 ) ( si n 1 )li m( si n 2) ( si n 1 )4 si n 1li m 5si n 2xxxxxxxxxxxxx????????????????? ? ??= 利用等價無窮小量求極限 當 0?x 時，下列函數都是無窮?。O限為 0）且相互等價， xx sin~ ， xx arcsin~ ， xx tan~ ， xx arctan~ ， 1~ ?xex ， )1ln(~ xx ? ，axax ln~1? ， xx ?? ~1)1( ?? 設函數 hgf , 在 )( 00 xU 內有定義，且有 13 第 13 頁 共 20 頁 )(~)( xgxf )( 0xx? . (1)若 Axhxfxx ?? )()(lim0，則 Axhxgxx ?? )()(lim0 (2)若 Bxf xhxx ?? )( )(lim0，則 Bxg xhxx ?? )( )(lim0 注：在用等價無窮小求極限過程，不是乘除的情況，不一定能這樣做 . 例 求極限3340 )2(sinlim xxxx ?? 解： 3340 )2(sinlim xxxx ?? = 88lim)2(lim 3 3403340 ?????? xxxxxxxx 例 0lim 1 ta n 1 s inx xx? ? ? ?試確定 ? 的值，使 0x? 時為同階無窮小量 解： 因為 1 ta n 1 si nxx? ? ?= ta n s in1 ta n 1 s inxx?? ? ? = 1 c o s 1 s inc o s1 ta n 1 s inx xxxx? ??? ? ?～ x ? ?0x? 所以，01 ta n 1 s inlim 1xxxx?? ? ? ?，故當 ? =1時 1 ta n 1 si nxx? ? ?與 x? 當 0x? 時為同階無窮小量