【正文】 . 8 例 設 1a? 及 *kN? ，求 limknn na??. 解 ： lim 0knn na?? ?. 事實上，先令 1k? ，把 a 寫作 1?? ，其中 0?? .我們有 ? ? ? ? ? ? 22 20 1 11 1 ...2nnn n nnnann ?? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?. 由于 ? ? ? ?22lim 0 21n nn ??? ???，可見nna??????是無窮小 .據(jù)等式 ? ?1/kknn knna a???????， 注意到 1/ 1ka ? ，由方才所述的結果 ? ?1/ nkna??????????是無窮小 .最后的等式表明，knna??????可表為有限個（ k 個）無窮小的乘積，所以也是 無窮小，即 lim 0knn na?? ?. 單調有界定理求法 有的時候我們需要先判斷一個數(shù)列是否收斂，再求其極限，此時該方法將會對我們有很大幫助，我們來看幾個例子 . 例 求例 ? ?lim 0 0!nnc ?? ??. 解 ： ? ?lim 0 0!nnc ?? ??. 事實上，令 *!nn cx n Nn??，.當 nc? 時， 9 ? ?1 1n n ncx x xn? ???. 因此 ??nx 從某一項開始是遞減的數(shù)列，并且顯然有下界 ，由單調有界原理知極限 limnnxx???存在，在等式 ? ?1 1nncxxn? ? ?的等號兩邊令n?? ，得到 00xx? ? ? ,所以 ??nx 為無窮小 .從而 ? ?lim 0 0!nnc ?? ??. 例 求極限 lim 3 3 3n?? ???（ n 個根號） . 解 ：設 3 3 3 1na ? ??? ?， 又由 1 33a ??，設 3na? ，則 1 3 3 3 3nnaa? ? ? ? ?. 因 1 3n n na a a? ??，故 ??na 單調遞增 . 綜上知 ??na 單增有上界，所以 ??na 收斂 . 令 lim 1 3nn a a a?? ? ? ?， ，由 1 3nnaa? ? ， 對兩邊求極限得 3aa? ，故 3a? . 函數(shù)極限法 有些數(shù)列極限可先轉化為函數(shù)極限求可能很方便，再利用歸結原則即可求出數(shù)列極限 . 例 用函數(shù)極限法求例 ,即求 limnn a??. 解 ： 先求 limxx a??， 因 l n l nl i m1 / 0l im l im l im 1xaaxx xxx x xa a e e e??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?, 再由歸結原則知 lim 1nn a?? ?. 例 用函數(shù)極限求例 ,即求 limnn n??. 解 ：先求 limxx x??.因 l n l nl i m 0l im l im 1xxxxxxx e e e??? ? ? ?? ? ? ?， 10 再由歸結原則知 lim 1nn n?? ?. 例 用函數(shù)極限求例 ,即設 1a? 及 *kN? ，求 limknn na??. 解 ：先求 limkxx xa??.因 ? ?1 !l im l im . . . . . l im 0ln lnkk kxx xx x xx k x ka a a aa?? ? ? ? ? ?? ? ? ?（由洛比達法則），再由歸結原則知 lim 0knn na?? ?. 定積分定義法 通項中含有 !n 的數(shù)列極限，由于 !n 的特殊性，直接求非常困難，若轉化成定積分來求就相對容易多了 . 例 求 !limnnnn??. 解 ：令 !nny n? ，則11ln lnniiy nn?? ?.而? ?++110 0011l im l n l im l n l n l im l n l im 1 l n 1nnn i iy x d x x d xnn ??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ??, 也即 lnlim 1n y?? ??，所以 1!lim lim nnnnyen ?? ? ? ???. 例 求極限2sin sinsinl im .. .1112nnnn nnn?????????? ? ??????. 解 ：因為 22sin sin .. . sin sin sinsin...11112n n n nnn nnn? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ?? 2sin sin ... sin1nnnn?? ?? ? ??? ， 11 2si n si n ... si n12l i m l i m si n si n ... si n1112l i m si n si n ... si nnnnnnnn n n n nn n n?? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ? ??????? ????????? ? ? ????????? 012sin xdx?????? ， 類似地 2sin sin ... sinlim 1n nnn n?? ???? ? ?? 22 1 2 2l im s in s in . . . s in1n nn n n n? ? ? ????? ????? ? ? ? ? ? ?????? ????， 由夾逼準則知 2sin sinsin 2l im .. .1112nnnn nnn??????????? ? ? ?????? . 注 ：在此 式的求解中用到了放縮法和迫斂性 . Stoltz 公式法 Stoltz 公式， 11lim lim .n n nnnn n ny y yax x x ?? ?? ? ?? ???? ?在求某些極限時非常方便，尤其是當1nnkkya???時特別有效 . 例 同例 ，定理 （ 1）式證明 . 證明 ：前面用 N?? 定義法證明，現(xiàn)用 Stoltz 公式證明 . 令 12 ... ,n n ny a a a x n? ? ? ? ?，則由 Stoltz 公式得到 12 ? ? ? ?? ?121 2 1 2 1...l i m... ...l i m1nnnnna a ana a a a a ann?????? ? ?? ? ? ? ? ? ???? lim lim1n nnna aa? ? ? ?? ? ?. 例 求11 2 ...limk k kkn nn ?? ?? ? ? ?. 解 ： ? ? 11 11 2 . . .l im l im 1k k k k kk knn nnn nn ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? （ Stoltz 公式） ＝? ? 11 2 111l im . . . 1k kkkn kk nC n C n ??? ? ? ??? ? ? ? （二項式定理） ＝1 1111kCk? ? ?. 幾何算術平均收斂公式法 上面我們用 Stoltz公式已得出定理 ,下面我們通過例子會發(fā)現(xiàn)很多 **n n， 類型的數(shù)列極限可以用此方法來簡化其求法 . 例 同例 limnn a??， 其中 0a? . 解 ：令 1 2 3, .. . 1na a a a a? ? ? ? ?,由定理 （ 2）知 lim lim 1nnnnaa?? ????. 例 同例 limnn n??. 解 ：令 ? ?1 1 2 , 3 , .. .1n na a nn? ? ??，,由定理 （ 2）知 l im l im l im 11nnn n n nna n? ? ? ? ? ?? ? ??. 例 同例 lim!nn nn??. 解 ：令 ? ?111 nnn nna nn???? ? ?????,則 13 ? ?1 2 312 23 12 3 41 2 3 nn nna a a n?? ???? ? ? ? ???? ＝ ? ? ? ?11!!nnnnn