【正文】 ...................... 5 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 .................................. 6 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 ................................ 6 利用單側(cè)極限求極限 ......................................... 8 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 ..................................... 8 利用無窮小量的性質(zhì)求極限 ................................... 9 利用等價(jià)無窮小量代換求極限 .................................. 9 利用中值定理求極限 ....................................... 10 洛必達(dá)法則求極限 ......................................... 12 利用定積分求和式的極限 ................................... 14 利用泰勒展開式求極限 ..................................... 15 換元法求極限 ............................................. 15 3 結(jié) 論 ....................................................... 16 參考文獻(xiàn) ...................................................... 16 致 謝 ......................................................... 16 1 引言 極限是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)。 本文主要探討、總結(jié)求極限的一般方法并補(bǔ)充利用級數(shù)收斂及利用積分 等 求極限的特殊方法 ,而且把每一種方法的特點(diǎn)及注意事項(xiàng)作了詳細(xì)重點(diǎn)說明 ,并以實(shí)例加以例解 ,彌補(bǔ)了一般教材的不足。 用極限解決問題的方式通常是先考察未知量并設(shè)法將其與變量相關(guān)聯(lián)，并確認(rèn)以無限的過程來得到未知結(jié)果。 求極限是數(shù)學(xué)分析中困難問題之一，中心問題有兩個(gè)：一、 證明極限的存在性，二、求解極限值。數(shù)列極限是極限理論的重要組成部分 ,而數(shù)列極限的求法可以通過定義法 ,兩邊夾法 ,單調(diào)有界法 ,施篤茲公式法等方法進(jìn)行求解。 極限 理論是一種近代發(fā)展起來的重要數(shù)學(xué)思想，也 是 數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)和首要的教學(xué) 內(nèi)容 。畢業(yè) 論文 論題方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)方向 課題名稱：極限求解的若干方法 指導(dǎo)教師：張 秀英 學(xué)生姓名 ：趙彥輝 20xx 年 4 月 11 日摘要： 高等數(shù)學(xué)是以函數(shù)為研究對象，以極限理論和極限方法為基本方法，以微積分學(xué)為主要內(nèi)容的一門學(xué)科，極限理論和極限方法在這門課程中占有極其重要的地位。高等數(shù)學(xué)許多深層次的理論及其應(yīng)用都是極限的延拓和深化，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微積分等等都是由極限定義的，離開了極限的思想高等數(shù)學(xué)就失去了基礎(chǔ)失去了價(jià)值，因此極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算。極限理論所研究的是變量在其變化過程中的趨勢問題，在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中所討論的極限問題大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限 ，它 是微積分的基礎(chǔ) ,貫穿于微積分學(xué)的始終 ,是微積分學(xué)的重要研究方法。 另一類是函數(shù)的極限 ，它 也是微積分學(xué)中的一個(gè)關(guān)鍵問題 ,是學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一 ,對函數(shù)極限概念的理解及對函數(shù)極限求法的掌握至關(guān)重要。這兩者有密切關(guān)系，兩者是辯證統(tǒng)一的。 本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種方法 , 1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限 , 2:利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 , 3:利用兩個(gè)重要極限公式求極限 , 4：利用單側(cè)極限求極限， 5：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 , 6：利用無窮小量的性質(zhì)求極限 , 7：利用等價(jià)無窮小量代換求極限 , 8：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 , 9：利用中值定理求極限 , 10：利用洛必達(dá)法則求極限 , 11：利用定積分求和式的極限 ,12：利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 , 13：利用泰勒展開式求極限 , 14：利用換元法求極限。 關(guān)鍵詞： 夾逼準(zhǔn)則 , 單調(diào)有界準(zhǔn)則 , 無窮小量的性質(zhì) , 洛必達(dá)法則 , 中值定理 , 定積分 , 泰勒展開式 , 級數(shù)收斂的必要條件 . 目 錄 摘 要 .......................................... 錯(cuò)誤 !未定義書簽。早在中國古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有記載。隨著微積分學(xué)的誕生，極限作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念也就明確提出。直到 19世紀(jì)，由 、K. (.)外爾斯特拉斯等人的工作，才將其置于嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上，從而得到舉世一致的公認(rèn)。如函數(shù) )(xfy? 在處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。 1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。本文 主要是對第二個(gè)問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。 例 1 2 2 21 1 112nx n n n n? ? ?? ? ? 求 nx 的極限 解 ：因?yàn)?nx 單調(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 2 2 2 21 1 1.......n nx n n n n n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 21 1 1.......1 1 1 1n nx n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 則221nnnxn n n???? 又因?yàn)? 22lim lim 11xxnnn n n? ? ? ????? lim 1nx x?? ? （ 2） 單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。 例 2 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。用歸納法可證。 兩端除以 ny 得 1n nay y?? 因?yàn)?1ny y a?? ， 則na ay ? ， 從而 11na ay ? ? ? 1na y a? ? ? 即 ny 是有界的。 令 limnx yl?? ? 則 21lim lim ( )nnnny y a?? ? ? ??? 則 2l l a?? 。 (1) ? ?0 0 0l im ( ) ( ) l im ( ) l im ( )x x x x x xf x g x f x g x A B? ? ?? ? ? ? ? (2) ? ? BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(lim)(lim)()(lim 000 2：兩收斂數(shù)列且作除數(shù)的數(shù)列的極限不為零，