20xx畢業(yè)論文-數(shù)列極限的求法及其應(yīng)用-展示頁
2025-01-22 16:12本頁面
【正文】 ，則數(shù)列收斂，且.（歸結(jié)原則）：對任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等.第二章 數(shù)列極限的求法 極限定義求法 在用數(shù)列極限定義法求時，（幾何算術(shù)平均收斂公式）的證明就可用數(shù)列極限來證明，我們來看幾個例子. 求，其中.解：.事實上，當(dāng)時，則. 由 ,得 . （5）任給，由（5）式可見，當(dāng)時，.對于的情況，因，由上述結(jié)論知，故 .綜合得時，. （1）式證明.證明：由，則，存在，使當(dāng)時，有 ,則 .令，那么 .由，知存在，使當(dāng)時，有.再令,故當(dāng)時，由上述不等式知 .所以 .例 求.解：. 事實上，.即.對，存在，則當(dāng)時，便有所以.注：上述例題中的7可用替換，即. 極限運算法則法 我們知道如果每次求極限都用定義法的話，. 求,其中.解：分子分母同乘，所求極限式化為 .由知，當(dāng)時，所求極限等于；當(dāng)時，由于，得到 求，其中.解: 若，則顯然有；若，則由得 ；若，則 . 夾逼準(zhǔn)則求法 ，它不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也提供了一個求極限的工具. 求極限.解：因為 ，所以 .因 ，再由迫斂性知 . 求數(shù)列的極限.解： 記，這里，則 ,由上式得 ，從而有 , （2）數(shù)列是收斂于1的，因?qū)θ谓o的，取，不等式（2）的左右兩邊的極限皆為1,故由迫斂性得 . 設(shè)及，求.解：.事實上，先令，把寫作， .由于， ，注意到，可表為有限個（個）無窮小的乘積，所以也是無窮小，即 . 單調(diào)有界定理求法 有的時候我們需要先判斷一個數(shù)列是否收斂，再求其極限，此時該方法將會對我們有很大幫助，我們來看幾個例子. .解：.事實上， .因此從某一項開始是遞減的數(shù)列，由單調(diào)有界原理知極限存在，在等式的等號兩邊令，得到, . 求極限（個根號）.解：設(shè)， 又由，設(shè)，則.因，故單調(diào)遞增.綜上知單增有上界，所以收斂.令由，對兩邊求極限得，故. 函數(shù)極限法 有些數(shù)列極限可先轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求可能很方便，再利用歸結(jié)原則即可求出數(shù)列極限. ,即求.解：先求，因,再由歸結(jié)原則知. ,即求.解：，再由歸結(jié)原則知. ,即設(shè)及，求.解：（由洛比達法則），再由歸結(jié)原則知. 定積分定義法 通項中含有的數(shù)列極限，由于的特殊性，直接求非常困難，若轉(zhuǎn)化成定積分來求就相對容易多了. 求.解：令，,也即，所以. 求極限.解：因為 ， ，類似地
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