【正文】 所以2 2 2 2 2 21l im 1 2 ( 1 )n n n nn n n n n?? ??? ? ???? ? ? ??? 2221 1 1 1l im2 1 11 1 ) 1 ( ) 1 ( )1(n nnnnn??????? ? ? ????????? 120 11 dxx? ?? 4?? 利用泰勒展開式求極限 泰勒公式是本章的一大難點，大家在學習時首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒公式、麥克勞林公式的表達形式以及常見的麥克勞林展開式。 例 16： (1) 求0lnsinlim lnsinxmxnx? (2) 求0limxx x? 解 ： (1) 由00lim ln sin lim ln sinxxm x n x??? ? ? ? 所以上述極限是 ?? 待定型 0 0 01 s in c o s s in s inl im l im l im 1l n s in c o s s in s inx x xn m x m m x n x m n xn x n n x m x n m x? ? ??? ? ? ? ?? (2) 0limxx x?它為 0 型 由對數(shù)恒等式可得 lnx x xxe? ln0lim x x xx xe? ? 00lnlim ln lim 01xxxxxx????? ? ? 00lim 1xx xe? ?? 例 17：求 lim??x xx2tancos1? 解：容易檢驗 f(x)=1+ xcos 與 g(x)= x2tan 在 ??0x 的鄰域里滿足定理的條件①和②，又因lim??x )(39。 利用中值定理求極限 1 微分中值定理：若函數(shù) ()fx 滿足 ()i 在 [, ]ab 連續(xù) .(ii )在 (, )ab 可導；則在 (, )ab 內(nèi)至少存在一點 ? ，使 ( ) ( )() f b f af ba? ?? ? ? 例 14：求 30 sin(sin )limx xxx? ? 解 ： si n( si n ) si n ( si n ) c os[ ( si n ) ]x x x x x x x?? ? ? ? ? ? (0 1)??? 30 si n(si n ) si nlimx xxx? ? 30 ( s in ) c o s [ ( s in ) ]limx x x x x xx?? ? ? ? ? ?? 20 cos 1cos 0 lim 3x xx? ??? 0sinlim 6xxx??? 16?? 2 積分中值定理：設函數(shù) ()fx 在閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù) 。 例 9： 求 2lim( !)nnnn?? 解 ：設2( !)nn na n? 則 ? ?112( 1 ) ( !)lim lim ( 1 ) !nnnnnna nnann ??? ? ? ????? 11lim (1 )1 nn nn??? ? ?? 01?? 由比值判別法知1 nn a???收斂 由必要條件知2lim 0( !)nnnn?? ? 利用單側(cè)極限求極限 形如： (1) 求含 xa 的函數(shù) x 趨向無窮的極限，或求含 1xa 的函數(shù) x 趨 向 于 0 的極限 。首先對函數(shù)施行各種恒等變形。 1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。這兩者有密切關系，兩者是辯證統(tǒng)一的。 用極限解決問題的方式通常是先考察未知量并設法將其與變量相關聯(lián)，并確認以無限的過程來得到未知結(jié)果。 2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計算此極限。例如分之，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化簡；化無窮多項的和（或積）為有限項。 (2) 求含取整函數(shù)的函數(shù)極限 (3) 分段函數(shù)在分段點處的極限 (4) 含偶次方根或的函數(shù)以及 arctanx arc tancx的函數(shù)， x 趨向無窮的極限 . 這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點處的極限，首先必須考慮分段點的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點處的極限存在，否則極限不存在。 ()gx 在 [, ]ab 上不變號且可積，則在 [, ]ab 上至少有一點 ? 使得 ( ) ( ) ( ) ( )bbaaf x g x f g x d x????? ? ?ab??? 例 15：求 40lim sinnn xdx???? 解 ： 40lim sinnn xdx???? lim si n ( 0)4nn????? ? ? ? 04?????????? lim(sin )4 nn? ???? 0? 洛必達法則求極限 在前面的敘述中，我們已經(jīng)提到了利用等價無窮小量來求函數(shù)的極限，在此筆者敘述一種牽涉到無窮?。ù螅┝康谋容^的求極限的方法。 )(39。實際上，泰勒公式在證明、極限計算等方面有著廣泛而獨到的應用，大家可以通過多做一些相應的練習題來體會。 例 20：求2 2 2 2 2 21l im 1 2 ( 1 )n n n nn n n n n?? ??? ? ???? ? ? ??? 解 ：由于2 2 2 2 2 21 1 2 ( 1 )n n nn n n n n? ? ?? ? ? ? 2221 1 1 12 1 11 1 ) 1 ( ) 1 ( )1( nnnnn????? ? ? ????????? 可取函數(shù)21() 1fx x? ?區(qū)間為 ? ?0,1 上述和式恰好是21() 1fx x? ? 在 ? ?0,1 上 n 等分的積分和。xg xfax? 不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極限須用另外方法。0( ?x xsin x~ ).0(, ?x 而 推 出 30 sin sintanlim x xxx ??= 0sin 30lim ??? xxxx 則得到的結(jié)果是錯誤的。 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級數(shù)收斂 的必要條件：若級數(shù)1 nn ????收斂，則 0( )n n? ? ? ?運用這個方法首先判定級數(shù)1 nn ????收斂，然后求出它的通項的極限 。 若 B≠ 0 則： BAxgxfxgxfxxxxxx ?? ???