極限求解的若干方法-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-07-30 08:59本頁面
【正文】 則商的極限等于極限的商。首先對函數(shù)施行各種恒等變形。 cAxfcxfc xxxx ???? ?? )(lim)(lim 00 （ c 為常數(shù)） 上述性質(zhì)對于 時也同樣成立???????? xxx , 總的說來，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。首先對函數(shù)施行各種恒等變形。 例 3： 求極限 (1) 221lim 21x xxx? ?? (2) 312lim 3xxx???? (3) 31 13lim ( )11x xx?? ??? (4) 已知 1 1 11 2 2 3 ( 1 )nx nn? ? ? ?? ? ? ?， 求 limnn x?? 解 ： (1) 221 1 11 ( 1 ) ( 1 ) 1 2l im l im l im2 1 ( 1 ) ( 2 1 ) 2 1 3x x xx x x xx x x x x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? (2) 3 3 31 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 3 1l im l im l im34( 3 ) ( 1 2 ) ( 3 ) ( 1 2 )x x xx x x xx x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? (3) 31 13lim ( )11x xx?? ??? 23 2 21 1 12 ( 1 ) ( 2 ) 2l im l im l im 11 ( 1 ) ( 1 ) 1x x xx x x x xx x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (4) 因為 1 1 11 2 2 3 ( 1 )nx nn? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 1 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???11 n?? 所以 1lim lim (1 ) 1nnnx n? ? ? ?? ? ? 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù) ()fx在 0x 附近有定義， x?? ， 則 00( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?， 如果 0000( ) ( )lim limxxf x x f xyxx? ? ? ?? ? ?? ???存在，則此極限值就稱函數(shù) ()fx在點 0x 的導(dǎo)數(shù)記為0()fx? .即 000 0 ( ) ( )( ) = limx f x x f xfx x?? ? ? ?? ?在這種方法的運用過程中。然后把所求極限。 例 4： 求 2lim ( ) 22x x ctg x? ?? ?? 解 ：取 ( ) 2f x tg x? ， 則 22211l i m ( ) 222 l i m 2 ( 2 )2l i m22xxxx c t g x t g xt g x t gxx??????????? ? ? ????? 22( ) ( ) 1 1 12l im 2() ( 2 se c 2 )22 2xf x fxf xx???? ???? ? ? ??? ? 利用兩個重要極限公式求極限 兩個極限公式 1sinlim)(0 ?? xxAx exB xx ???? )11(lim)( 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形： ))((,))(11lim ()()0)((,1)( )(s inlim)()(39。??????xexBxx xAx ???? ?? 在這一類型題中，一般也不能直接運用公式，需要恒等變形進行化簡后才可以利用公式。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。 例 9： 求 2lim( !)nnnn?? 解 ：設(shè)2( !)nn na n? 則 ? ?112( 1 ) ( !)lim lim ( 1 ) !nnnnnna nnann ??? ? ? ????? 11lim (1 )1 nn nn??? ? ?? 01?? 由比值判別法知1 nn a???收斂 由必要條件知2lim 0( !)nnnn?? ? 利用單側(cè)極限求極限 形如： (1) 求含 xa 的函數(shù) x 趨向無窮的極限，或求含 1xa 的函數(shù) x 趨 向 于 0 的極限 。 例 10： 21si n , 0()1 , 0xxfx xxx? ??? ????? 求 ()fx在 0x? 的左右極限 解 ：01lim sin 1n x x?? ?? 01lim sin 1n x x?? ?? 00lim ( ) lim ( ) 1nnf x f x?????? 0lim ( ) 1x fx? ? 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 即：)()](l i m[))((l i m)()(l i m)]([)()()(l i m)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx??????????????處連續(xù)，則在且是復(fù)合函數(shù)，又若處連續(xù)，則在若 這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限。即000lim ( ( ) ) ( ( ) ( lim ( ) )x x x xf g x f g x f g x????也就是說，極限號0limxx?可以與符號 f互換順序。如果0lim ( ) 0xxfx? ?, ()gx 在某區(qū)間 0 0 0 0( , ), ( , )x x x x????有界，那么0lim ( ) ( ) 0xx f x g x? ??.這種方法可以處理一個函數(shù)不存在但有界和 另一個函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。 定理 2 當 0?x 時，下 列函數(shù)都是無窮?。礃O限是 0），且相互等價，即有： x ～ sinx ～ tanx ～ arcsinx ～ tanarc x ～ ln(1 )x? ～ 1xe? 。 定理 3 如果函數(shù) 11( ), ( ), ( ), ( )f x g x f x g x都是 0xx? 時的無窮小，且 )(xf ～ )(1xf ，)(xg ～ )(1xg ，則當011()lim ()xxfxgx?存在時 ，0()lim ()xxfxgx?也存在且等于011()lim ()xxfxgx?， 即)(
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