極限求解的若干方法-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-wenkub
2023-05-25 08:59:34 本頁面
【正文】 ? ， 則 00( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?， 如果 0000( ) ( )lim limxxf x x f xyxx? ? ? ?? ? ?? ???存在，則此極限值就稱函數(shù) ()fx在點 0x 的導(dǎo)數(shù)記為0()fx? .即 000 0 ( ) ( )( ) = limx f x x f xfx x?? ? ? ?? ?在這種方法的運用過程中。 cAxfcxfc xxxx ???? ?? )(lim)(lim 00 （ c 為常數(shù)） 上述性質(zhì)對于 時也同樣成立???????? xxx , 總的說來，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。 (1) ? ?0 0 0l im ( ) ( ) l im ( ) l im ( )x x x x x xf x g x f x g x A B? ? ?? ? ? ? ? (2) ? ? BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(lim)(lim)()(lim 000 2：兩收斂數(shù)列且作除數(shù)的數(shù)列的極限不為零，則商的極限等于極限的商。 兩端除以 ny 得 1n nay y?? 因為 1ny y a?? ， 則na ay ? ， 從而 11na ay ? ? ? 1na y a? ? ? 即 ny 是有界的。 例 2 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。本文 主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。直到 19世紀(jì)，由 、K. (.)外爾斯特拉斯等人的工作，才將其置于嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上，從而得到舉世一致的公認。早在中國古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻中有記載。 本文主要歸納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種方法 , 1：利用兩個準(zhǔn)則求極限 , 2:利用極限的四則運算性質(zhì)求極限 , 3:利用兩個重要極限公式求極限 , 4：利用單側(cè)極限求極限， 5：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 , 6：利用無窮小量的性質(zhì)求極限 , 7：利用等價無窮小量代換求極限 , 8：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 , 9：利用中值定理求極限 , 10：利用洛必達法則求極限 , 11：利用定積分求和式的極限 ,12：利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 , 13：利用泰勒展開式求極限 , 14：利用換元法求極限。 另一類是函數(shù)的極限 ，它 也是微積分學(xué)中的一個關(guān)鍵問題 ,是學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一 ,對函數(shù)極限概念的理解及對函數(shù)極限求法的掌握至關(guān)重要。高等數(shù)學(xué)許多深層次的理論及其應(yīng)用都是極限的延拓和深化，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微積分等等都是由極限定義的，離開了極限的思想高等數(shù)學(xué)就失去了基礎(chǔ)失去了價值，因此極限運算是高等數(shù)學(xué)的基本運算。 極限 理論是一種近代發(fā)展起來的重要數(shù)學(xué)思想，也 是 數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)和首要的教學(xué) 內(nèi)容 。 求極限是數(shù)學(xué)分析中困難問題之一，中心問題有兩個：一、 證明極限的存在性，二、求解極限值。 本文主要探討、總結(jié)求極限的一般方法并補充利用級數(shù)收斂及利用積分 等 求極限的特殊方法 ,而且把每一種方法的特點及注意事項作了詳細重點說明 ,并以實例加以例解 ,彌補了一般教材的不足。例如 ,3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形周長的極限是圓周長這一思想來近似地計算圓周率 ? 的。 數(shù)學(xué)分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。 2 極限的求法 利用兩個準(zhǔn)則求極限 (1)函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則） ： 若一正整數(shù) N,當(dāng) nN 時，有 n n nx y z?? ， 且lim limnnxxx y a?? ????則有 lim nx ya?? ? . 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從 nx 的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列 {}ny 和 {}nz ，使得 n n ny x z??。 1 2 3, , , , ny a y a a y a a a y a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 證明 ：從這個數(shù)列構(gòu)造來看 ny 顯然是單調(diào)增加的。根據(jù)定理 {}ny 有極限，而且極限唯一。 若 B≠ 0 則： BAxgxfxgxfxxxxxx ?? ??? )(lim)(lim)()(lim000 3: 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進行極限的四則運算。 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進行極限的四則運算。首先要選好 ()fx。39。 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級數(shù)收斂 的必要條件：若級數(shù)1 nn ????收斂，則 0( )n n? ? ? ?運用這個方法首先判定級數(shù)1 nn ????收斂，然后求出它的通項的極限 。如果 ()u gx? 在點 0x 連續(xù) 00()gx ?? ,而()yf?? 在點 0x 連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù) ( ( ))y f g x? 在點 0x 連續(xù)。 例 12：求 sinlimxxx?? 解： 因為 sin 1x? 1lim 0x x?? ? 所以 sinlim 0xxx?? ? 利用等價無窮小量代換求極限 定理 1 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是 0）。 等價無窮小量：當(dāng) 1yz?時，稱 ,yz是等價無窮小量：記為 y ～ z 在求極限過程中，往往可以把其中的無窮小量，或它的主要部分來代替。0( ?x xsin x~ ).0(, ?x 而 推 出 30 sin sintanlim x xxx ??= 0sin 30lim ??? xxxx 則得到的結(jié)果是錯誤的。現(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，這個方法通常稱為洛必達法則。39。 應(yīng)用洛必達法則，要分別求分子，分母的倒數(shù)，而不是求整個分式的倒數(shù)。xg xfax? 不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極限須用另外方法。 )(39。)(39。 xg 在 0x 的某鄰域內(nèi)必須滿足上述定理的條件。 例 20：求2 2 2 2 2 21l im 1 2 ( 1 )n n n nn n n n n?? ??? ? ???? ? ? ??? 解 ：由于2 2 2 2 2 21 1 2 ( 1 )n n nn n n n n? ? ?? ? ? ? 2221 1 1 12 1 11 1 ) 1 ( ) 1 ( )1( nnnnn????? ? ? ????????? 可取函數(shù)21() 1fx x? ?區(qū)間為 ? ?0,1 上述和式恰好是21() 1fx x? ? 在 ? ?0,1 上 n 等分的積分和。 例 22： 求 11lim lnxxxxx?? 解 ：令 1xtx?? 則 ln ln( 1)xt??
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