【正文】 ? ， 則 00( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?， 如果 0000( ) ( )lim limxxf x x f xyxx? ? ? ?? ? ?? ???存在，則此極限值就稱函數 ()fx在點 0x 的導數記為0()fx? .即 000 0 ( ) ( )( ) = limx f x x f xfx x?? ? ? ?? ?在這種方法的運用過程中。 cAxfcxfc xxxx ???? ?? )(lim)(lim 00 （ c 為常數） 上述性質對于 時也同樣成立???????? xxx , 總的說來，就是函數的和、差、積、商的極限等于函數極限的和、差、積、商。 (1) ? ?0 0 0l im ( ) ( ) l im ( ) l im ( )x x x x x xf x g x f x g x A B? ? ?? ? ? ? ? (2) ? ? BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(lim)(lim)()(lim 000 2：兩收斂數列且作除數的數列的極限不為零，則商的極限等于極限的商。 兩端除以 ny 得 1n nay y?? 因為 1ny y a?? ， 則na ay ? ， 從而 11na ay ? ? ? 1na y a? ? ? 即 ny 是有界的。 例 2 證明下列數列的極限存在，并求極限。本文 主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述。極限是貫穿數學分析的一條主線。直到 19世紀，由 、K. (.)外爾斯特拉斯等人的工作，才將其置于嚴密的理論基礎之上，從而得到舉世一致的公認。早在中國古代，極限的樸素思想和應用就已在文獻中有記載。 本文主要歸納了數學分析中求極限的十四種方法 , 1：利用兩個準則求極限 , 2:利用極限的四則運算性質求極限 , 3:利用兩個重要極限公式求極限 , 4：利用單側極限求極限， 5：利用函數的連續(xù)性求極限 , 6：利用無窮小量的性質求極限 , 7：利用等價無窮小量代換求極限 , 8：利用導數的定義求極限 , 9：利用中值定理求極限 , 10：利用洛必達法則求極限 , 11：利用定積分求和式的極限 ,12：利用級數收斂的必要條件求極限 , 13：利用泰勒展開式求極限 , 14：利用換元法求極限。 另一類是函數的極限 ，它 也是微積分學中的一個關鍵問題 ,是學習的主要內容之一 ,對函數極限概念的理解及對函數極限求法的掌握至關重要。高等數學許多深層次的理論及其應用都是極限的延拓和深化，如連續(xù)、導數、微積分等等都是由極限定義的，離開了極限的思想高等數學就失去了基礎失去了價值，因此極限運算是高等數學的基本運算。 極限 理論是一種近代發(fā)展起來的重要數學思想，也 是 數學分析的基礎和首要的教學 內容 。 求極限是數學分析中困難問題之一，中心問題有兩個：一、 證明極限的存在性，二、求解極限值。 本文主要探討、總結求極限的一般方法并補充利用級數收斂及利用積分 等 求極限的特殊方法 ,而且把每一種方法的特點及注意事項作了詳細重點說明 ,并以實例加以例解 ,彌補了一般教材的不足。例如 ,3世紀中國數學家劉徽的割圓術，就是用圓內接正多邊形周長的極限是圓周長這一思想來近似地計算圓周率 ? 的。 數學分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。學好極限是從以下兩方面著手。 2 極限的求法 利用兩個準則求極限 (1)函數極限的迫斂性（夾逼法則） ： 若一正整數 N,當 nN 時，有 n n nx y z?? ， 且lim limnnxxx y a?? ????則有 lim nx ya?? ? . 利用夾逼準則求極限關鍵在于從 nx 的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數列 {}ny 和 {}nz ，使得 n n ny x z??。 1 2 3, , , , ny a y a a y a a a y a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 證明 ：從這個數列構造來看 ny 顯然是單調增加的。根據定理 {}ny 有極限，而且極限唯一。 若 B≠ 0 則： BAxgxfxgxfxxxxxx ?? ??? )(lim)(lim)()(lim000 3: 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進行極限的四則運算。 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進行極限的四則運算。首先要選好 ()fx。39。 利用級數收斂的必要條件求極限 利用級數收斂 的必要條件：若級數1 nn ????收斂，則 0( )n n? ? ? ?運用這個方法首先判定級數1 nn ????收斂，然后求出它的通項的極限 。如果 ()u gx? 在點 0x 連續(xù) 00()gx ?? ,而()yf?? 在點 0x 連續(xù)，那么復合函數 ( ( ))y f g x? 在點 0x 連續(xù)。 例 12：求 sinlimxxx?? 解： 因為 sin 1x? 1lim 0x x?? ? 所以 sinlim 0xxx?? ? 利用等價無窮小量代換求極限 定理 1 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小（即極限是 0）。 等價無窮小量：當 1yz?時，稱 ,yz是等價無窮小量：記為 y ～ z 在求極限過程中，往往可以把其中的無窮小量，或它的主要部分來代替。0( ?x xsin x~ ).0(, ?x 而 推 出 30 sin sintanlim x xxx ??= 0sin 30lim ??? xxxx 則得到的結果是錯誤的?，F在我們將以導數為工具研究不定式極限，這個方法通常稱為洛必達法則。39。 應用洛必達法則，要分別求分子，分母的倒數，而不是求整個分式的倒數。xg xfax? 不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極限須用另外方法。 )(39。)(39。 xg 在 0x 的某鄰域內必須滿足上述定理的條件。 例 20：求2 2 2 2 2 21l im 1 2 ( 1 )n n n nn n n n n?? ??? ? ???? ? ? ??? 解 ：由于2 2 2 2 2 21 1 2 ( 1 )n n nn n n n n? ? ?? ? ? ? 2221 1 1 12 1 11 1 ) 1 ( ) 1 ( )1( nnnnn????? ? ? ????????? 可取函數21() 1fx x? ?區(qū)間為 ? ?0,1 上述和式恰好是21() 1fx x? ? 在 ? ?0,1 上 n 等分的積分和。 例 22： 求 11lim lnxxxxx?? 解 ：令 1xtx?? 則 ln ln( 1)xt??