【正文】 ”，即使推出 )1(?kp 真能保證 )(np 真嗎？如果讓學(xué)生帶著這種疑問去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法肯定會(huì)影響他們的學(xué)習(xí)情感的。 引言 數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法。 數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)教學(xué)中常用在證明下列命題：與自然數(shù) n 有關(guān) 的恒等式、不等式、數(shù)列、幾何、整除性、計(jì)數(shù)、矩陣等等。 但真正比較明確使用數(shù)學(xué)歸納法的是意大利數(shù)學(xué)家、物理天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯（ F. Maurolycus, 1494 1575），真正明確數(shù)學(xué)歸納法證明兩步的應(yīng)該還是17 世紀(jì) 的數(shù)學(xué)家帕斯卡 ( B. Pascal, 1623 ~1662)，他最早將數(shù)學(xué)歸納法的證明用形式的兩步明確下來。因此，演繹法是一種必然的推理，它是一種嚴(yán)格的邏輯證明方法。不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法．但是，不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段。枚舉歸納法是以某個(gè)對(duì)象的多次重復(fù)作為判斷根據(jù)的歸納方法；因果歸納法歸納法是把一類事物中部分對(duì)象的因果關(guān)系作為判斷的前提而做出一般性猜想的方法 [2]。 數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式 數(shù)學(xué)歸納法概念 數(shù)學(xué)歸納法概念 : 數(shù)學(xué)歸納法是 數(shù)學(xué)上證明與 正整數(shù) N 有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與 正整數(shù) 有關(guān)的數(shù)學(xué)問題 。a ， 39。 ba? 一定能推得 ba? (5)任意一個(gè)自然數(shù)的集合，如果包含 1，并且假設(shè)包含 a ，也一定包含 a 的隨從 39。 數(shù)學(xué)歸納法的正確性驗(yàn)證是根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的原理，能否完成對(duì)與自然數(shù)有關(guān)命題的無限次論證，即數(shù)學(xué)歸納法是否可靠，下面我將結(jié)合“正整數(shù)最小原理”，即“任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)”來驗(yàn)證數(shù)學(xué)歸納法是否正確。 反過來，也可以用這個(gè)性質(zhì)來推出數(shù)學(xué)歸納法。 上面的道理采用形式上的講法，也就是：有一批編了號(hào)碼的數(shù)學(xué)命題，能夠證明第 1號(hào)命題正確，如果能夠證明在第 k 號(hào)命題正確的時(shí)候，第 1?k 號(hào)命題也正確，那么，這一批命題就全部正確。 例 求證： n 邊形 n 個(gè)內(nèi)角的和等于 ?)2( ?n ，（ 3?n ）。 例 我們知道，對(duì)于任意自然數(shù) n ，有 211 3 )(?? ?? nni ii,反之，若 0?na ，且2131 )(?? ?? n ini i aa ,有 nan? 成立嗎？ 證明：當(dāng) 1?n 時(shí)，由 2131 aa ? 及 01?a ,得 11?a 。 總之，數(shù)學(xué)歸納法原理還隱含著許多“變著”，這便使得數(shù)學(xué)歸納法在證題中發(fā)揮著重要的作用，除此之外，還有其它其實(shí)的數(shù)學(xué)歸納法，如蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法，雙重?cái)?shù)學(xué)歸納法。 證明： (1)當(dāng) 1?n 時(shí)， 1?左 ， 1?右 ，所以等式成立。 以上問題都涉及到數(shù)學(xué)歸納法的原理，本質(zhì)，也是它能夠成為一種重要的數(shù)學(xué)證明方法的巧妙之處。 這里，第 k 號(hào)命題是：“第 1?k 個(gè)正整數(shù)等于第 k 個(gè)正整數(shù)”，就是 kk ??1 兩邊都加上 1，就得 1??kk 這就是說，第 k 個(gè)正整數(shù)等于第 1?k 個(gè)正整數(shù)，這不是說明了所有的正整數(shù)都相等了嗎？ 錯(cuò)誤就在于，我們沒有考慮 1?k 的情況。 這就足夠說明了 1?n 是遞推的基礎(chǔ) ,二，三兩步相互循環(huán)論證關(guān)系是遞推的過程，它解決了從特殊值 0nn? 到一般 0nn? 的過渡。 所以，用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵在于合理應(yīng)用假設(shè)。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù) n 有關(guān)的恒等式、不等式、證明整除問題、證明幾何問題以及矩陣問題等。 例 （ 2022江蘇卷（理科））已知△ ABC的三邊長都是有理數(shù)。 ②假設(shè)當(dāng) ( 1)n k k??時(shí)， coskA 和 sin sinA kA 都是有理數(shù)。 數(shù)學(xué)歸納法最簡單的應(yīng)用之一，是用來研究排列和組合的公式，通過高中的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道：“從 n 個(gè)不同的元素里，每次取 r 個(gè)，按照一定的順序擺成一排，稱做從 n 個(gè)元素里每次取出 r 個(gè)元素的排列。 證明：首先， 1nAn= ． 這是顯然的．如果再能證明 11rrnnA nA= ， 那么，這個(gè)定理就可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明。 ”的處理，存在兩種不同的看法，一種觀點(diǎn)認(rèn)為：在第一步中，既要驗(yàn)證“ AB= ”成立，也要說明 ()A B A B成立。事實(shí)上，用數(shù)學(xué)歸納法證明非嚴(yán)格不等式時(shí)， AB= 是 AB179。 （ 2）假設(shè)當(dāng) ()n k k N??時(shí)命題成立，即 212121 1 1( ) ( )kka a a ka a a? ? ? ? ? ? ? 那么當(dāng) 1nk=+ 1 2 11 2 11 2 1 2 11 2 1 1 21 1 1 1( ) ( )1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1kkkkk k kk k ka a a aa a a aa a a a a a aa a a a a a a????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 2 11 1 2221 1 1 12 ( ) ( ) 121kkkkk a a a aa a a akk??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2221( 1)kkk= + +=+ 即當(dāng) 1nk=+時(shí)，命題成立。 根據(jù)（ 1）和（ 2），可知命題對(duì)任何 *nN206。 例 若不等式 2413 1312111 annnn ????????? ?對(duì)一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù) a的最大值，并證明你的結(jié)論。 由 1）， 2）可知，對(duì)一切 ??Na ，都有 242513 1312111 ????????? nnnn ? 故 a 的最大值為 25 。 證明： 1) 1?n 時(shí)， 66336336 3222 ?????? ? nnn 能被 11整除。 證明幾何問題 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)重要應(yīng)用。求證：這 n 個(gè)圓把平面分成 22 ??nn 個(gè)部分。 行列式與矩陣的證明 行列式與矩陣的計(jì)算靈活多變，需要有較強(qiáng)的技巧。 例 證明范得蒙 )( eVandermond 行列式： ???????????nijjinnnnnnnn xxxxxxxxxxxxxxV111312112232221321)(.. .::::.. ... .1.. .111其中 )()())(())(()( 1223113121 ???? ?????????????????? nnnnnij ji xxxxxxxxxxxxxx 證明 ：（ 1）當(dāng) 2?n 時(shí)， )(11211221 jiijn xxxxxxV ????? ? ???， 等式成立。計(jì)算行列式與矩陣的方法比較靈活，同一行列式與矩陣可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用。 錯(cuò)證 ：假設(shè) nk= 時(shí)等式成立，即 ( 1 )1 2 3 12kkk ++ + + + = + 則當(dāng) 1nk=+時(shí)， 1 2 3 1( 1) 112( 1)( 2) 12kkkk kkk+ + + + + ++= + + +++=+ 即 當(dāng) 1nk=+時(shí)等式成立。上述錯(cuò)證，竟把錯(cuò)誤的結(jié)論“證明”出來了，豈非怪哉？此種怪現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，就是缺少歸納奠定這一步。歸納奠基步驟決不能少 [1] 。 上述的證明方法表象似乎是“數(shù)學(xué)歸納法”，其實(shí)不是，因?yàn)榈诙接?nk= 推導(dǎo) 1nk=+時(shí)，沒有用到歸納假設(shè)來證明不等式成立，這就好像接力賽跑一樣沒有由前一個(gè) k 將接力棒傳給 1k+ [7] 。 證明：（ 1）當(dāng) 0n= 時(shí)，顯然成立。上例假設(shè)是 n 為正整數(shù)，而我們第一步驗(yàn)證 0n= ，這時(shí)命題顯然成立，這比直接驗(yàn)證 1n= 要容易的多。 ∵ 2 2 2( 2 2 ) ( 1 ) 2 3 ( 3 ) ( 1 )k k k k k k + = = +, 由于 10k+ ，欲使上式大于 0，必有 3k ，即 k34。 這里運(yùn)用了“起點(diǎn)后挪”的技巧 [7]。 （ 2） 假設(shè) ( 7, )n k k k N= ? 時(shí)命題成立，則當(dāng) 3nk=+時(shí)，只需再加一個(gè) 3 即可，顯然成立。 假設(shè)當(dāng) nk= 時(shí)， 0 0 0,x x y y z z= = =，就有 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) kx z y z z x y z ++ = + =， 知它們恰為方程的一組正整數(shù)解 .所以當(dāng) 2nk=+ 時(shí)，命題也成立。事實(shí)上，“ nk= ”往往可以用“ nk163。（加拿大數(shù)學(xué)競賽試題） 分析：顯然 1a 滿足通項(xiàng)公式，但因 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 21 1 1 221 ()( 1 ) 1kka a a ak+ = + + ++， 與 1a ， 2a ，?， ka 都有關(guān)，如果仍設(shè) 1( 1)ka kk= +，就顯得不夠用了。 例 設(shè) 1x 與 2x 是方程 2 6 1 0xx + = 的兩個(gè)根，試證對(duì)任何自然數(shù) n ， 12nnxx+ 都是整數(shù)，但不是 5的倍數(shù)。事實(shí)上，我們有 3 2 1 1 1()n n n n n n na a a a a a a+ + + + += = = 于是有 63 ()n n n na a a a++= = = 從而知 {na }是以 6作為循環(huán)節(jié)的循環(huán)數(shù)列 .于是可以算出： 6 1 1 6 2 2 6 3 31 , 4 , 3 ,n n na a a a a a+ + += = = = = = 6 4 4 6 5 5 6 6 61 , 4 , 3 ,n n na a a a a a+ + += = = = = = 它們都不為 0，這樣我們就證明了對(duì)一切自然數(shù) n ， 12nnxx+ 都不是 5的倍數(shù)。對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們也常采用數(shù)學(xué)歸 納法來證明它們的正確性。 陜西科技大學(xué)畢業(yè)論文 24 致 謝 經(jīng)過了數(shù)月的努力，我的畢業(yè)論文終于完成了，此時(shí)，我 的心情常激動(dòng)。所以，我要發(fā)自肺腑地感謝我的導(dǎo)師，感謝她這幾個(gè)月來的辛勤知道和陪伴！ 還有我敬愛的老師們，在我大學(xué)四年的 學(xué)習(xí)生活中，你們的諄諄教誨時(shí)時(shí)刻刻激勵(lì)著我，我之所以能夠很好地學(xué)到科學(xué)文化知識(shí)，全得益于你們的樂于奉獻(xiàn)，所以在此，也要對(duì)你們說聲謝謝！ 再者，還有我親愛的同學(xué)們，我的生活因?yàn)橛心銈兊呐惆槎辉倏菰锓ξ?，你們給我?guī)砹颂嗝篮玫幕貞?，這些回憶值得我永遠(yuǎn)珍藏，所以也要謝謝你們！ 最后，我要感謝我的家人，有了你們的鼓勵(lì)和支持，我才能夠義無返顧的努力向前，我才能夠順利地完成學(xué)校，在此道一聲：謝謝你們！ 還要感謝在百忙之中抽出時(shí)間參加我們畢業(yè)論文答辯的老師，你們辛苦了！ 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 25 參考文獻(xiàn) [1]王子興 .數(shù)學(xué)方法論 [M].長沙：中南大學(xué)出版社， 2022:179204. 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