蘇教版選修2-2高中數(shù)學(xué)23第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用同步檢測(cè)-wenkub
2022-12-15 20:00:53 本頁(yè)面
【正文】 22＋ 32＋ ? ＋ (2n)2，則 f(k＋ 1)與 f(k)的遞推關(guān)系式是 ________． 解析 ∵ f(k)＝ 12＋ 22＋ ? ＋ (2k)2， ∴ f(k＋ 1)＝ 12＋ 22＋ ? ＋ (2k)2＋ (2k＋ 1)2＋ (2k＋ 2)2， ∴ f(k＋ 1)＝ f(k)＋ (2k＋ 1)2＋ (2k＋ 2)2. 答案 f(k＋ 1)＝ f(k)＋ (2k＋ 1)2＋ (2k＋ 2)2 5．已知 1＋ 2 3＋ 3 32＋ 4 33＋ ? ＋ n 3n－ 1＝ 3n(na－ b)＋ c 對(duì)一切 n∈ N*都成立，則 a、 b、 c 的值為 ________． 解析 ∵ 等式對(duì)一切 n∈ N*均成立， ∴ n＝ 1,2,3時(shí)等式成立，即： ????? 1＝ 3?a－ b?＋ c，1＋ 2 3＝ 32?2a－ b?＋ c，1＋ 2 3＋ 3 32＝ 33?3a－ b?＋ c，整理得 ????? 3a－ 3b＋ c＝ 1，18a－ 9b＋ c＝ 7，81a－ 27b＋ c＝ 34，解得 a＝ 12， b＝ c＝ 14. 答案 a＝ 12， b＝ c＝ 14 6．已知 n∈ N*， n＞ 2 時(shí)，求證： 1＋ 12＋ 13＋ ? ＋ 1n＞ n＋ 1. 證明 (1)當(dāng) n＝ 3 時(shí)，左邊＝ 1＋ 12＋ 13，右邊＝ 3＋ 1＝ 2， 左邊＞右邊，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng) n＝ k(k∈ N*， k＞ 2)時(shí)，不等式成立， 即 1＋ 12＋ 13＋ ? ＋ 1k＞ k＋ 1. 當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)， 1＋ 12＋ 13＋ ? ＋ 1k＋ 1k＋ 1 ＞ k＋ 1＋ 1k＋ 1＝ k＋ 1＋ 1k＋ 1 ＝ k＋ 2k＋ 1. ∵ k＋ 2k＋ 1＞ k＋ 2k＋ 2＝ k＋ 2＝ ?k＋ 1?＋ 1， ∴ 1＋ 12＋ 13＋ ? ＋ 1k＋ 1k＋ 1＞ ?k＋ 1?＋ 1， ∴ 當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)，不等式也成立． 由 (1)， (2)知
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