蘇教版選修2-2高中數(shù)學(xué)23第2課時數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用同步檢測(完整版)
【正文】 根據(jù) ①② 可知對任意 n∈ N*， an＝ 2n?n＋ 1?. 13． (創(chuàng)新拓展 )等比數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，已知對任意的 n∈ N*，點(diǎn) (n， Sn)均在函數(shù) y＝ bx＋ r(b＞ 0 且 b≠ 1， b， r 均為常數(shù) )的圖象上． (1)求 r 的值； (2)當(dāng) b＝ 2 時，記 bn＝ 2(log2an＋ 1)(n∈ N*)， 證明：對任意的 n∈ N*，不等式 b1＋ 1b1b2＋ 1b22k＋ 12k ＞ k＋ 1， 則當(dāng) n＝ k＋ 1 時， 2＋ 12 2k＋ 12k b2＋ 1b2? bn＋ 1bn＞ n＋ 1成立． (1)解 由題意， Sn＝ bn＋ r， 當(dāng) n≥ 2 時， Sn－ 1＝ bn－ 1＋ r， 所以 an＝ Sn－ Sn－ 1＝ bn－ 1(b－ 1)，由于 b＞ 0 且 b≠ 1， 所以 n≥ 2 時， {an}是以 b 為公比的等比數(shù)列． 又 a1＝ b＋ r， a2＝ b(b－ 1)， a2a1＝ b，即b?b－ 1?b＋ r ＝ b，解得 r＝－ 1. (2)證明 當(dāng) b＝ 2 時，由 (1)知 an＝ 2n－ 1， 因此 bn＝ 2n(n∈ N*)， 所證不等式為 2＋ 12 10?1＋ 19?2 － 1＝ 199. 所以第 21行的第 6個數(shù)為 199＋ 2 6＝ 211. 答案 211 11．已知 f(x)＝ 2xx＋ 2， x1＝ 1， xn＝ f(xn－ 1)(n≥ 2， n∈ N*)，則 x2， x3， x4 分別為多少？猜想 xn，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 證明 ∵ f(x)＝ 2xx＋ 2， x1＝ 1， xn＝ f(xn－ 1)， ∴ x2＝ f(x1)＝ f(1)＝ 23， x3＝ f(x2)＝ f?? ??23 ＝2 2323＋ 2＝ 12＝ 24， x4＝ f(x3)＝ f?? ??12 ＝2 1212＋ 2＝
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