蘇教版選修2-2高中數(shù)學(xué)23第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用同步檢測(cè)(更新版)
【正文】 25， 猜想： xn＝ 2n＋ 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： (1)當(dāng) n＝ 1 時(shí)，左邊＝ x1＝ 1，右邊＝ 21＋ 1＝ 1，左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng) n＝ k(k∈ N*， k≥ 1)時(shí)，等式成立， 即 xk＝ 2k＋ 1， 當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)， xk＋ 1＝ f(xk)＝ 2xkxk＋ 2＝4k＋ 12k＋ 1＋ 2＝ 42k＋ 4＝ 2k＋ 2＝ 2?k＋ 1?＋ 1， ∴ 當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)，命題成立． 由 (1)， (2)可知原命題成立． 12．?dāng)?shù)列 {an}中， a1＝ 1， Sn＝ n2an. (1)求 a2， a3， a4； (2)猜想 {an}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想． 解 (1)∵ Sn＝ n2an， ∴ Sn＋ 1＝ (n＋ 1)2an＋ 1， 兩式相減得 an＋ 1＝ (n＋ 1)2an＋ 1－ n2an， ∴ an＋ 1＝ nn＋ 2an. 由 a1＝ 1 得 a2＝ 13，由 a2＝ 13得 a3＝ 16， 由 a3＝ 16得 a4＝ 110. (2)由 a1， a2， a3， a4 的值猜想： an＝ 2n?n＋ 1?(n∈ N*)． 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： an＝ 2n?n＋ 1?(n∈ N*)： ① 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， a1＝ 1＝ 21 2成立． ② 假設(shè)當(dāng) n＝ k(k∈ N*)時(shí)， ak＝ 2k?k＋ 1?. 那么 ak＋ 1＝ kk＋ 22n＋ 12n ＞ n＋ 1. ① 當(dāng) n＝ 1 時(shí)，左式＝ 32，右式＝ 2. 左式＞右式，所以結(jié)論成立． ② 假設(shè) n＝ k(k∈ N*)時(shí)結(jié)論成立， 即 2＋ 12 2k＋ 32?k＋ 1?＝ 2k＋ 32 k＋ 1. 要證當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)結(jié)論成立， 只需證 2k＋ 32 k＋ 1＞ k＋ 2成立，只需證： 4k2＋ 12k＋ 9＞ 4k2＋ 12k＋ 8 成立，顯然成立， ∴ 當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)， 2＋ 12
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