蘇教版選修2-2高中數(shù)學(xué)23第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用同步檢測(cè)(專業(yè)版)
【正文】 2k＋ 32?k＋ 1?＝ 2k＋ 32 k＋ 1. 要證當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)結(jié)論成立， 只需證 2k＋ 32 k＋ 1＞ k＋ 2成立，只需證： 4k2＋ 12k＋ 9＞ 4k2＋ 12k＋ 8 成立，顯然成立， ∴ 當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)， 2＋ 12 10?1＋ 19?2 － 1＝ 199. 所以第 21行的第 6個(gè)數(shù)為 199＋ 2 6＝ 211. 答案 211 11．已知 f(x)＝ 2xx＋ 2， x1＝ 1， xn＝ f(xn－ 1)(n≥ 2， n∈ N*)，則 x2， x3， x4 分別為多少？猜想 xn，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 證明 ∵ f(x)＝ 2xx＋ 2， x1＝ 1， xn＝ f(xn－ 1)， ∴ x2＝ f(x1)＝ f(1)＝ 23， x3＝ f(x2)＝ f?? ??23 ＝2 2323＋ 2＝ 12＝ 24， x4＝ f(x3)＝ f?? ??12 ＝2 1212＋ 2＝ 25， 猜想： xn＝ 2n＋ 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： (1)當(dāng) n＝ 1 時(shí)，左邊＝ x1＝ 1，右邊＝ 21＋ 1＝ 1，左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng) n＝ k(k∈ N*， k≥ 1)時(shí)，等式成立， 即 xk＝ 2k＋ 1， 當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)， xk＋ 1＝ f(xk)＝ 2xkxk＋ 2＝4k＋ 12k＋ 1＋ 2＝ 42k＋ 4＝ 2k＋ 2＝ 2?k＋ 1?＋ 1， ∴ 當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)，命題成立． 由 (1)， (2)可知原命題成立． 12．?dāng)?shù)列 {an}中， a1＝ 1， Sn＝ n2an. (1)求 a2， a3， a4； (2)猜想 {an}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想． 解 (1)∵ Sn＝ n2an， ∴ Sn＋ 1＝ (n＋ 1)2an＋ 1， 兩式相減得 an＋ 1＝ (n＋ 1)2an＋ 1－ n2an， ∴ an＋ 1＝ nn＋ 2an.
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