蘇教版選修2-2高中數(shù)學(xué)23第2課時數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用同步檢測-資料下載頁
2024-12-04 20:00本頁面
【導(dǎo)讀】解析要想辦法出現(xiàn)ak＋1＋bk＋1，兩邊同乘以a＋b2，右邊也出現(xiàn)了要證的????解析a1＝2，a2＝27，a3＝213，a4＝219，猜測an＝26n－5.3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an．依次計算出S1，S2，解析S1＝1，S2＝43，S3＝32＝64，S4＝85，猜想Sn＝2nn＋1.＋2，則f(k＋1)與f的遞推關(guān)系式是________．。∴f(k＋1)＝12＋22＋?＋n×3n－1＝3n＋c對一切n∈N*都成立，18a－9b＋c＝7，81a－27b＋c＝34，解得a＝12，b＝c＝14.假設(shè)當(dāng)n＝k時，不等式成立，＞k＋1＋1k＋1＝k＋1＋1k＋1＝k＋2k＋1.∵k＋2k＋1＞k＋2k＋2＝k＋2＝?∴a2＝115＝13×5，S3＝3a3，即13＋115＋a3＝15a3.∴a3＝135＝15×7，同理，a4＝17×an＝1?所以第21行的第6個數(shù)為199＋2×6＝211.∴x2＝f＝f＝23，兩式相減得an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝nn＋2an.由a1＝1得a2＝13，由a2＝13得a3＝16，由a3＝16得a4＝110.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＝2n?那么ak＋1＝kk＋2·ak＝kk＋2·2k?根據(jù)①②可知對任意n∈N*，an＝2n?
【正文】 ； (2)當(dāng) b＝ 2 時，記 bn＝ 2(log2an＋ 1)(n∈ N*)， 證明：對任意的 n∈ N*，不等式 b1＋ 1b1b2＋ 1b2? bn＋ 1bn＞ n＋ 1成立． (1)解 由題意， Sn＝ bn＋ r， 當(dāng) n≥ 2 時， Sn－ 1＝ bn－ 1＋ r， 所以 an＝ Sn－ Sn－ 1＝ bn－ 1(b－ 1)，由于 b＞ 0 且 b≠ 1， 所以 n≥ 2 時， {an}是以 b 為公比的等比數(shù)列． 又 a1＝ b＋ r， a2＝ b(b－ 1)， a2a1＝ b，即b?b－ 1?b＋ r ＝ b，解得 r＝－ 1. (2)證明 當(dāng) b＝ 2 時，由 (1)知 an＝ 2n－ 1， 因此 bn＝ 2n(n∈ N*)， 所證不等式為 2＋ 12 4＋ 14 ? 2n＋ 12n ＞ n＋ 1. ① 當(dāng) n＝ 1 時，左式＝ 32，右式＝ 2. 左式＞右式，所以結(jié)論成立． ② 假設(shè) n＝ k(k∈ N*)時結(jié)論成立， 即 2＋ 12 4＋ 14 ? 2k＋ 12k ＞ k＋ 1， 則當(dāng) n＝ k＋ 1 時， 2＋ 12 4＋ 14 ? 2k＋ 12k 2k＋ 32?k＋ 1? ＞ k＋ 12k＋ 32?k＋ 1?＝ 2k＋ 32 k＋ 1. 要證當(dāng) n＝ k＋ 1 時結(jié)論成立， 只需證 2k＋ 32 k＋ 1＞ k＋ 2成立，只需證： 4k2＋ 12k＋ 9＞ 4k2＋ 12k＋ 8 成立，顯然成立， ∴ 當(dāng) n＝ k＋ 1 時， 2＋ 12 4＋ 14 ? 2k＋ 12k 2k＋ 32?k＋ 1?＞ ?k＋ 1?＋ 1成立， 綜合 ①② 可知不等式 b1＋ 1b1b2＋ 1b2? bn＋ 1bn＞ n＋ 1成立．
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