高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2【基礎(chǔ)過關(guān)】23一-資料下載頁
2024-12-04 23:42本頁面
【導(dǎo)讀】1＋11＋2＋11＋2＋3＋?＋n＝2nn＋1時(shí)，由n＝k到n＝k＋1左邊需要添加的。4．已知f＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋?＋1n2，則f共有________項(xiàng)，且f＝________.6．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)?·，從k到k＋1左。＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·n?11．已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1＝5且Sn－1＝an，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．。求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；12．是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋?bn＋c)對一切正整數(shù)成立？9．證明當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－13＝23，右邊＝21＋2＝23，＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·k?a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋?12．解假設(shè)存在a、b、c使上式對n∈N*均成立，12(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2
【正文】 n－ 2 ?n≥ 2， n∈ N*? . 12． 解 假設(shè)存在 a、 b、 c使上式對 n∈ N*均成立， 則當(dāng) n＝ 1,2,3 時(shí)上式顯然也成立， 此時(shí)可得????? 1 22＝ 16?a＋ b＋ c?，1 22＋ 2 32＝ 12?4a＋ 2b＋ c?，1 22＋ 2 32＋ 3 42＝ 9a＋ 3b＋ c， 解此方程組可得 a＝ 3， b＝ 11， c＝ 10， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 1 22＋ 2 32＋ 3 42＋ ? ＋ n(n＋ 1)2＝ n?n＋ 1?12 (3n2＋ 11n＋ 10)對一切正整數(shù)均成立 ． (1)當(dāng) n＝ 1 時(shí)，命題顯然成立 ． (2)假設(shè) n＝ k時(shí)，命題成立 ． 即 1 22＋ 2 32＋ 3 42＋ ? ＋ k(k＋ 1)2＝ k?k＋ 1?12 (3k2＋ 11k＋ 10)， 則當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)，有 122＋ 232＋ ? ＋ k(k＋ 1)2＋ (k＋ 1)(k＋ 2)2 ＝ k?k＋ 1?12 (3k2＋ 11k＋ 10)＋ (k＋ 1)(k＋ 2)2 ＝ k?k＋ 1?12 (k＋ 2)(3k＋ 5)＋ (k＋ 1)(k＋ 2)2 ＝ ?k＋ 1??k＋ 2?12 (3k2＋ 5k＋ 12k＋ 24) ＝ ?k＋ 1??k＋ 2?12 [3(k＋ 1)2＋ 11(k＋ 1)＋ 10]． 即當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)，等式也成立． 由 (1)(2)可知，對任何正整數(shù) n，等式都成立．
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