高中數學蘇教版選修2-2【基礎過關】23一-資料下載頁
2025-11-25 23:42本頁面
【導讀】1＋11＋2＋11＋2＋3＋?＋n＝2nn＋1時，由n＝k到n＝k＋1左邊需要添加的。4．已知f＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋?＋1n2，則f共有________項，且f＝________.6．用數學歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)?·，從k到k＋1左。＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·n?11．已知數列{an}的第一項a1＝5且Sn－1＝an，Sn為數列{an}的前n項和．。求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式；12．是否存在常數a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋?bn＋c)對一切正整數成立？9．證明當n＝1時，左邊＝1－13＝23，右邊＝21＋2＝23，＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·k?a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋?12．解假設存在a、b、c使上式對n∈N*均成立，12(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2
【正文】 n－ 2 ?n≥ 2， n∈ N*? . 12． 解 假設存在 a、 b、 c使上式對 n∈ N*均成立， 則當 n＝ 1,2,3 時上式顯然也成立， 此時可得????? 1 22＝ 16?a＋ b＋ c?，1 22＋ 2 32＝ 12?4a＋ 2b＋ c?，1 22＋ 2 32＋ 3 42＝ 9a＋ 3b＋ c， 解此方程組可得 a＝ 3， b＝ 11， c＝ 10， 下面用數學歸納法證明等式 1 22＋ 2 32＋ 3 42＋ ? ＋ n(n＋ 1)2＝ n?n＋ 1?12 (3n2＋ 11n＋ 10)對一切正整數均成立 ． (1)當 n＝ 1 時，命題顯然成立 ． (2)假設 n＝ k時，命題成立 ． 即 1 22＋ 2 32＋ 3 42＋ ? ＋ k(k＋ 1)2＝ k?k＋ 1?12 (3k2＋ 11k＋ 10)， 則當 n＝ k＋ 1 時，有 122＋ 232＋ ? ＋ k(k＋ 1)2＋ (k＋ 1)(k＋ 2)2 ＝ k?k＋ 1?12 (3k2＋ 11k＋ 10)＋ (k＋ 1)(k＋ 2)2 ＝ k?k＋ 1?12 (k＋ 2)(3k＋ 5)＋ (k＋ 1)(k＋ 2)2 ＝ ?k＋ 1??k＋ 2?12 (3k2＋ 5k＋ 12k＋ 24) ＝ ?k＋ 1??k＋ 2?12 [3(k＋ 1)2＋ 11(k＋ 1)＋ 10]． 即當 n＝ k＋ 1 時，等式也成立． 由 (1)(2)可知，對任何正整數 n，等式都成立．
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