高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2【基礎(chǔ)過關(guān)】23二-資料下載頁
2025-11-25 23:42本頁面
【導(dǎo)讀】1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋?＋12n＋1，則f＝________.4．已知f＝1＋12＋13＋?＋1n，證明不等式f>n2時(shí)，f比f多的項(xiàng)數(shù)是。5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an．依次計(jì)算出S1，S2，S3，S4. 7．k棱柱有f個(gè)對(duì)角面，則(k＋1)棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù)f(k＋1)＝f＋________.②假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，則n＝k＋1時(shí)，?＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋?9．用數(shù)學(xué)歸納法證明122＋132＋?11．求證：1n＋1＋1n＋2＋?∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，則有：S1＝a1＝－23，即Sk＝－k＋1k＋2成立，＝－k＋2k＋3＝－?所以左邊>右邊；
【正文】 k＋ 2k＋ 3＝－ ?k＋ 1?＋ 1?k＋ 1?＋ 2. 即 n＝ k＋ 1 時(shí)猜想成立 ． 由 (1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù) n，猜想結(jié)論均成立 ． 13． 證明 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， 21＋ 2＝ 4n2＝ 1， 當(dāng) n＝ 2 時(shí)， 22＋ 2＝ 6n2＝ 4， 當(dāng) n＝ 3 時(shí)， 23＋ 2＝ 10n2＝ 9， 由 n＝ 4 時(shí)， 24＋ 2＝ 18n2＝ 16， 由此可以猜想， 2n＋ 2n2(n∈ N*)成立 ． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng) n＝ 1 時(shí)，左邊＝ 21＋ 2＝ 4，右邊＝ 1， 所以左邊 右邊，所以原不等式成立 ． 當(dāng) n＝ 2 時(shí)，左邊＝ 22＋ 2＝ 6，右邊＝ 22＝ 4， 所以左邊 右邊； 當(dāng) n＝ 3 時(shí)，左邊＝ 23＋ 2＝ 10，右邊＝ 32＝ 9， 所以左邊 右邊 ． (2)假設(shè) n＝ k(k≥ 3 且 k∈ N*)時(shí)，不等式成立， 即 2k＋ 2k2. 那么當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)， 2k＋ 1＋ 2＝ 22k＋ 2＝ 2(2k＋ 2)－ 22k2－ 2. 又因?yàn)?2k2－ 2－ (k＋ 1)2＝ k2－ 2k－ 3＝ (k－ 3)(k＋ 1)≥ 0， 即 2k2－ 2≥(k＋ 1)2，故 2k＋ 1＋ 2(k＋ 1)2成立． 根據(jù) (1)和 (2)，原不等式對(duì)于任何 n∈ N*都成立．
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