高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】23一-文庫(kù)吧資料
2024-12-12 23:42本頁(yè)面
【正文】 k－ 1. 故 n＝ k＋ 1 時(shí)公式也成立 ． 由 ①② 可知，對(duì) n≥ 2， n∈ N*，有 an＝ 5 2n－ 2. 所以數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 an＝????? 5 ?n＝ 1?5 2n－ 2 ?n≥ 2， n∈ N*? . 12． 解 假設(shè)存在 a、 b、 c使上式對(duì) n∈ N*均成立， 則當(dāng) n＝ 1,2,3 時(shí)上式顯然也成立， 此時(shí)可得????? 1 22＝ 16?a＋ b＋ c?，1 22＋ 2 32＝ 12?4a＋ 2b＋ c?，1 22＋ 2 32＋ 3 42＝ 9a＋ 3b＋ c， 解此方程組可得 a＝ 3， b＝ 11， c＝ 10， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 1 22＋ 2 32＋ 3 42＋ ? ＋ n(n＋ 1)2＝ n?n＋ 1?12 (3n2＋ 11n＋ 10)對(duì)一切正整數(shù)均成立 ． (1)當(dāng) n＝ 1 時(shí)，命題顯然成立 ． (2)假設(shè) n＝ k時(shí)，命題成立 ． 即 1 22＋ 2 32＋ 3 42＋ ? ＋ k(k＋ 1)2＝ k?k＋ 1?12 (3k2＋ 11k＋ 10)， 則當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)，有 1k?k＋ 1?2 ＋ (－ 1)k(k＋ 1)2 ＝ (－ 1)k(1－ 1k＋ 3) ＝ 2k＋ 2(1－ 1k＋ 3)＝ 2?k＋ 2??k＋ 2??k＋ 3?＝ 2k＋ 3， 所以當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)等式也成立 ． 由 (1)(2)可知，對(duì)于任意 n∈
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