蘇教版選修2-2高中數(shù)學(xué)23第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用同步檢測(cè)-閱讀頁(yè)
2024-12-24 20:00本頁(yè)面
【正文】 ， ∴ Sn＋ 1＝ (n＋ 1)2an＋ 1， 兩式相減得 an＋ 1＝ (n＋ 1)2an＋ 1－ n2an， ∴ an＋ 1＝ nn＋ 2an. 由 a1＝ 1 得 a2＝ 13，由 a2＝ 13得 a3＝ 16， 由 a3＝ 16得 a4＝ 110. (2)由 a1， a2， a3， a4 的值猜想： an＝ 2n?n＋ 1?(n∈ N*)． 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： an＝ 2n?n＋ 1?(n∈ N*)： ① 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， a1＝ 1＝ 21 2成立． ② 假設(shè)當(dāng) n＝ k(k∈ N*)時(shí)， ak＝ 2k?k＋ 1?. 那么 ak＋ 1＝ kk＋ 2 2k?k＋ 1? ＝ 2?k＋ 1?[?k＋ 1?＋ 1]. 這表明當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)猜想正確． 根據(jù) ①② 可知對(duì)任意 n∈ N*， an＝ 2n?n＋ 1?. 13． (創(chuàng)新拓展 )等比數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，已知對(duì)任意的 n∈ N*，點(diǎn) (n， Sn)均在函數(shù) y＝ bx＋ r(b＞ 0 且 b≠ 1， b， r 均為常數(shù) )的圖象上． (1)求 r 的值； (2)當(dāng) b＝ 2 時(shí)，記 bn＝ 2(log2an＋ 1)(n∈ N*)， 證明：對(duì)任意的 n∈ N*，不等式 b1＋ 1b1? 4＋ 14 2n＋ 12n ＞ n＋ 1. ① 當(dāng) n＝ 1 時(shí)，左式＝ 32，右式＝ 2. 左式＞右式，所以結(jié)論成立． ② 假設(shè) n＝ k(k∈ N*)時(shí)結(jié)論成立， 即 2＋ 12 ? 4＋ 14 2k＋ 12k 2k＋ 32?k＋ 1?＝ 2k＋ 32 k＋ 1. 要證當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)結(jié)論成立， 只需證 2k＋ 32 k＋ 1＞ k＋ 2成立，只需證： 4k2＋ 12k＋ 9＞ 4k2＋ 12k＋ 8 成立，顯然成立， ∴ 當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)， 2＋ 12 ? 2k＋ 32?k＋ 1?＞ ?k＋ 1?＋ 1成立， 綜合 ①② 可知不等式 b1＋ 1b1?
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