高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章4數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)作業(yè)-資料下載頁
2024-12-05 01:48本頁面
【導(dǎo)讀】1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋?＋(n＋3)＝n＋n＋2時(shí)，驗(yàn)證。2．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋?＋n(n＋1)·(n＋2)＝14n(n＋1)(n＋a)(n＋b). 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9. [解析]因?yàn)閺膎＝k到n＝k＋1的過渡，增加了(k＋3)3，減少了k3，故利用歸納假設(shè)，5．觀察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3. ＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，?，則歸納猜測a7＋b7＝(). [解析]觀察發(fā)現(xiàn)，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.1)時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)左邊表達(dá)式是________；從k→k＋1需增添的項(xiàng)是________．。，取值逐個驗(yàn)證即可．。[解析]設(shè)原凸k邊形的頂點(diǎn)為A1，A2，?，Ak，增加一個頂點(diǎn)Ak＋1，增加Ak＋1與A2、，Ak－1共k－2條再加上A1與Ak的一條連線共k－1條．。計(jì)算a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak. ＋12k＋1－1，共
【正文】 n)＋ ( 12n＋ 1－ 12n＋ 2) ＝ f(n)＋ 12n＋ 1 2n＋ 2 ＞ f(n)， ∴ f(n＋ 1)＞ f(n)＞ ? ＞ f(1)＝ 12＝ 1224， ∴ m＝ 11. 三、解答題 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1－ 12＋ 13－ 14＋ ? ＋ 12n－ 1－ 12n＝ 1n＋ 1＋ 1n＋ 2＋ ? ＋ 12n. [證明 ] ① 當(dāng) n＝ 1時(shí)，左邊＝ 1－ 12＝ 12＝ 11＋ 1＝右邊， ∴ 當(dāng) n＝ 1時(shí)，等式成立． ② 假設(shè) n＝ k時(shí)等式成立，即 1－ 12＋ 13－ 14＋ ? ＋ 12k－ 1－ 12k＝ 1k＋ 1＋ 1k＋ 2＋ ? ＋ 12k. 則當(dāng) n＝ k＋ 1時(shí)， 左邊＝ 1－ 12＋ 13－ 14＋ ? ＋ 12k－ 1－ 12k＋ 12k＋ 1－ 12k＋ 2 ＝ ( 1k＋ 1＋ 1k＋ 2＋ ? ＋ 12k)＋ 12k＋ 1－ 12k＋ 2 ＝ ( 1k＋ 2＋ ? ＋ 12k＋ 12k＋ 1)＋ ( 1k＋ 1－ 12k＋ 2) ＝ 1k＋ 2＋ ? ＋ 12k＋ 12k＋ 1＋ 12k＋ 2＝右邊． ∴ n＝ k＋ 1時(shí)等式成立． 由 ①② 知等式對任意 n∈ N＋ 都成立． [點(diǎn)評 ] 在利用歸納假設(shè)論證 n＝ k＋ 1等式成立時(shí)，注意分析 n＝ k與 n＝ k＋ 1 的兩個等式的差別． n＝ k＋ 1時(shí)，等式左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，而且右式的首項(xiàng)由 1k＋ 1變到1k＋ ，右式中的1k＋ 1應(yīng)與－12k＋ 2合并，才能得到所證式．因此，在論證之前，把 n＝ k＋ 1時(shí)等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)先作一下分析是有效的． 8．已知函數(shù) f(x)＝ x＋ 3x＋ 1(x≥0) ．設(shè)數(shù)列 {an}滿足 a1＝ 1， an＋ 1＝ f(an)，數(shù)列 {bn}滿足 bn＝ |an－ 3|，用 數(shù)學(xué)歸納法證明： bn≤ 3－n2n－ 1 . [證明 ] 當(dāng) x≥0 時(shí)， f(x)＝ 1＋ 2x＋ 11. 因?yàn)?a1＝ 1，所以 an≥1( n∈ N＋ )． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 bn≤ 3－n2n－ 1 . (1)當(dāng) n＝ 1時(shí)， b1＝ 3－ 1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng) n＝ k(k≥1) 時(shí)，不等式成立． 即 bk≤ 3－k2k－ 1 ， 那么 bk＋ 1＝ |ak＋ 1－ 3|＝ 3－ ak－ 3|1＋ ak≤ 3－ 12 bk≤ 3－k＋ 12k . 所以，當(dāng) n＝ k＋ 1時(shí)，不等式也成立． 根據(jù) (1)和 (2)，可知不等式對任意 n∈ N＋ 都成立．
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