新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-223數(shù)學(xué)歸納法3課時(shí)-資料下載頁(yè)
2025-11-14 01:09本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】上都是由特殊情況歸納出一般情況的方法---歸納法。na通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程：。類比多米諾骨牌過(guò)程,證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式dnaan)1(1???當(dāng)n＝1時(shí)等式成立；證明當(dāng)n取第一個(gè)值0n時(shí)結(jié)論正確；例1在數(shù)列{na}中,1a＝1,11,先計(jì)算2a，3a，4a的。例2用數(shù)學(xué)歸納法證明，)12)(1(22221????????首項(xiàng)是1a，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是11??一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；用數(shù)學(xué)歸納法證明：1222221132????????
【正文】 ( ) 9iii a a a a a a? ? ? ? ?之后，歸納出對(duì) 12, , , na a a 也成立的類似不等式，并證明你的結(jié)論 . ② （ 89 年全國(guó)理科高考題）是否存在常數(shù) a、 b、 c，使得等式 （ 答案：a=3,b=11,c=10） 1 2 2 2 2( 1 )2 2 3 . . . . . ( 1 ) ( )12nnn n a n b n c?? ? ? ? ? ? ? ? ?對(duì)一切自然數(shù) n都成立？并證明你的結(jié)論 3. 小結(jié)： 探索性 問(wèn)題的解決模式為 “一試驗(yàn)→二歸納→三猜想→四證明” . 三、鞏固練習(xí)： 1. 平面內(nèi)有 n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任何三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這 n 個(gè)圓將平面 分成 f(n)=n2－ n+2個(gè)部分 . 2. 是否存在正整數(shù) m，使得 f（ n） =（ 2n+7） 3n+9 對(duì)任意正整數(shù) n都能被 m整除 ?若存在，求出最大的 m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . （答案： m=36） 3. 試 證明面值為 3分和 5分的郵票可支付任何 ( 7, )n n n N??的郵資 . 證明 ：（ 1）當(dāng) 8,9,10n? 時(shí)，由 8 3 5 , 9 3 3 3 ,10 5 5? ? ? ? ? ? ?可知命題成立； （ 2）假設(shè) ( 7, )n k k k N? ? ?時(shí)，命題成立 . 則 當(dāng) 3nk??時(shí)，由（ 1）及歸納假設(shè)， 顯然 3nk?? 時(shí)成立 .根據(jù)（ 1）和（ 2），可知命題成立 . 小結(jié)：新的遞推形式，即（ 1）驗(yàn)證 00( ), ( 1), ,P n P n ? 0( 1)P n l?? 成立 ()lN? ；（ 2）假設(shè) ()Pk 成立，并在此基礎(chǔ)上 ,推出 ()Pk l? 成立 . 根據(jù) (1)和 (2)，對(duì)一切自然數(shù)0()nn? ,命題 ()Pn 都成立 . 2. 作業(yè)： 167。 數(shù)學(xué)歸納法 一、教學(xué)目標(biāo) 1．了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力 ] 2．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟． 3．抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高 ] 二、 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) [ 重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納的基本思想，掌握它的基本 步驟，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù) n（ n 取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。 難點(diǎn)： 學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明； 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在 “歸納遞推 ”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系。 三、 教學(xué)過(guò)程 （一） 創(chuàng)設(shè)情景 對(duì)于數(shù)列 {an}， 已知 11?a ， aaa nnn ??? 11 (n=1,2,…), 通過(guò)對(duì) n=1,2,3,4 前 4 項(xiàng)的歸納，猜想其通項(xiàng)公式為 nan 1? 。這個(gè)猜想是否正確需要證明。 一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù) n 有關(guān)的命題，當(dāng) n 比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但當(dāng) n較大時(shí)，驗(yàn)證就很麻煩 。特別是 n 可取所有正整數(shù)時(shí)逐一驗(yàn)證是不可能的。因此，我們需要尋求一種方法：通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明 n 取所有正整數(shù)都成立 。 （ 二 ） 研探新知 了解 多米諾骨牌游戲 。 可 以看出 ，只要滿足以下兩條件，所有多 米諾骨牌就都能倒下： （ 1）第一塊骨牌倒下； （ 2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 思考：你認(rèn)為條件（ 2）的作用是什么？ [ 可以看出，條件（ 2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系： 當(dāng)?shù)?k 塊倒下時(shí)，相鄰的第 k+1 塊也倒下。 這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證（ 1）（ 2）成立。 用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。 思考：你認(rèn)為證明 數(shù)列的通過(guò)公式是 nan 1? 這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 分析： 多米諾骨牌 游戲原理 通項(xiàng)公式 nan 1? 的證明方法 （ 1）第一塊骨牌倒下。 （ 1）當(dāng) n=1 時(shí) a1=1， 猜想成立 （ 2）若第 k 塊倒下時(shí)，則相鄰的第 k+1塊也倒下。 （ 2）若當(dāng) n=k 時(shí)猜想成立，即 kak 1? ，則當(dāng) n=k+1 時(shí) 猜 想 也 成 立 ， 即111 ??? kak 。 根據(jù)（ 1）和 （ 2），可知不 論 有多少塊骨牌，都能全部倒下。 根據(jù)（ 1）和（ 2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n， 猜想都成立 數(shù)學(xué)歸納法的原理 一 般地，證明一個(gè)與正整數(shù) n 有關(guān)的命題，可按下列 步驟進(jìn)行： （ 1）（歸納奠基）證明當(dāng) n 取第一個(gè)值 n0 時(shí)命題成立； （ 2）（歸納遞推）假設(shè) n=k( nn kk ??? ,0 )時(shí)命題成立，證明當(dāng) n=k+1 時(shí)命題也成立。 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從 n0 開(kāi)始的所有正整數(shù) n 都成立。 上述證 明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 注意：（ 1）這兩步步驟缺一不可 。 （ 2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而在這一步主要在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)，結(jié)合已知條件和其他數(shù)學(xué)知識(shí)，證明 “當(dāng) n=k+1 時(shí)命題成 立 ”。 （ 3）數(shù)學(xué)歸 納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題，但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析。 例題講解 例 1 課本 P94 例 2 課本 P94 例 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+3+5+? +(2n－ 1)=n2。 證明： (1)當(dāng) n=1時(shí)，左邊 =1，右邊 =1，等式成立 . (2)假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)，等式成立，就是 1+3+5+? +(2k－ 1)=k2， 那么 1+3+5+ ? +(2k － 1)+ ［ 2(k+1) － 1 ］ =k2+ ［ 2(k+1) － 1 ］=k2+2k+1=(k+1)2。 即當(dāng) n=k+1 時(shí)等式也成立 。 根據(jù) (1)和 (2)，可知等式對(duì)任何 n∈ N *都成立。 （三）課堂練習(xí)： 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+2+3+? +n= 2 )1( ?nn 。 課本 P95 練習(xí) 2。 （四）小結(jié) ： 數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟。 （五）布置作業(yè)：
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