新人教a版高中數(shù)學選修2-223數(shù)學歸納法3課時(編輯修改稿)
2024-12-29 01:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，達到學以致用的目的，提高學生靈活運用知識的能力。 五、說 學法 “問題是數(shù)學的心臟”，課前我將預設一些問題讓學生帶著問題預習新課，課堂上老師結(jié)合“多米諾骨牌”游戲的展示，圍繞“遞推“這一中心，提出一連串的問題，引導學生積極思考，通過類比，從游戲中找到知識的生長點，進而抽象出數(shù)學歸納法，這樣便突破了教學上的難點，同時安排 一定的時間讓學生進行 課堂練習，布置適量的作業(yè)以進一步鞏固所學知識并及時做好知識反饋，使學生親歷觀察、分析、合情推理、認同和論證的思維過程，從而達到預設的教學目標。 六、說教學過程 （一）新課引入 從財主兒子學寫字和等差數(shù)列的通項公式入手，進一步使學生體會到雖然通過歸納推理可以幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，但利用歸納推理得到的結(jié)論是不可靠的，其正確與否還必須經(jīng)過嚴格的證明。然后直接指出，同樣用歸納推理得到的等差數(shù)列的通項公式和自然數(shù)的前 n 項平方和公式都具有猜測的性質(zhì)，它們都是與自然數(shù)有關的數(shù)學命題，而自然數(shù)有 無限多個，我們又無法對所有的自然數(shù)逐一驗證，那么如何判斷命題的正確性呢？舊知識產(chǎn)生了新問題，以此激起學生強烈的求知欲，從而水到渠成地引入新課 —— 數(shù)學歸納法。 （二）講新課 理論探討及建構 那么什么是數(shù)學歸納法呢？帶著這一問題，我將開始展示“多米諾骨牌”游戲，隨后提出問題：“怎樣會造成最后一個骨牌不能倒下？以及全部倒下需要什么條件？” 經(jīng)過學生的思考討論，可能會有多種答案，此時老師抓住其中較有代表性的幾種答案展開分析，比如有的會說“所有的骨牌都會被推倒”。有的會說“如果沒有一張骨牌被推倒，那‘假若’還有什 么意義呢？” 有的會說“只要有一張骨牌被推倒，則該張骨牌后所有的骨牌都會被推倒?！睂τ诘谝环N回答，它顯然可以被第二種回答否定，第三種回答思維嚴密，它其實是在原有的條件下又附加了“事先有一張骨牌被推倒”這一個新的條件，因此，它揭示的是一個不爭的事實，易于得到其他學生的認同，老師此時不失時機地予以充分肯定，并進一步提出第二個問題：“那么，要保證所有的骨牌被推倒，應該具備哪些條件呢？” 此時學生自然會結(jié)合第三種回答和前面的假設，經(jīng)過思考和討論得出所有牌被推倒必須具備兩個條件： 條件 1:第一張骨牌被推倒； 條件 2 :若前一張骨牌被推倒，則后一張骨牌被推倒。 老師再問：“條件 1和條件 2各具有什么樣的作用呢？ ” 學生經(jīng)過思考討論不難發(fā)現(xiàn)，條件 1 是前提，是基礎，條件 2是遞推，兩者結(jié)合起來就能保證所有牌被推倒。 “結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，你能找到它與‘多米諾骨牌’游戲之間存在的相同相似點嗎？如果能找到他們在某些方面的相同或相似，那么我們即可以利用前面學過的類比推理方法來找到等差數(shù)列公式成立必需具備的條件了。”鑒于學生的實際認知水平，老師適當予以點撥，學生在經(jīng)過思考和討論便會發(fā)現(xiàn)： 第一， 一列骨牌是一列，一列數(shù)也是一列，它們都 是一個系列； 第二， 有一張牌，就有數(shù)列中一個相應的項； 第三， 不同的牌，數(shù)列中就有不同的項。 在此基礎上，老師提出第五個問題：“既然這兩類事物之間存在以上的相同相似點，而我們又已經(jīng)找到了成功 ” 多米諾骨牌”必須具備的兩個條件，那么能不能利用類比推理的方法先建立兩類事物相關“元素”之間的對應關系，再進一步得到等差數(shù)列通項公式對任意的自然數(shù) n 都成立的條件？” 問題中指出學生解決問題的方法和努力的方向，有利于增強解決問題的信心，便于發(fā)揮學生的主觀能動性，培養(yǎng)學生創(chuàng)造性地運用已學過的知識來解決新 問題的能力。在老師 的啟發(fā)和引導下，學生經(jīng)過思考、討論，不難發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列和” 多米諾骨牌”游戲這兩類事物的相關“元素”之間可以建立如下的對應關系： 1 張骨牌 數(shù)列中相應的一項； 1 張骨牌倒下 數(shù)列中相應的 1 個命題成立 根據(jù)這種對應關系，進一步得到等差數(shù)列公式恒成立必須具備的兩個條件： （ 1） 當 n=1 時，命題成立； （ 2） 假設 n=k 時命題成立，則當 n=k+1 時命題也成立。 這就是數(shù)學歸納法，老師及時進行板書。這樣，通過游戲展示 尋求“多米諾骨牌”條件 “ 多米諾骨牌”游戲與數(shù)列類比 聯(lián)想類推 理論建構，層層深入，逐步推進，起到了一石二鳥的作用：一是學生通過自己的努力從具體問題中抽象出了數(shù)學歸納法，二是有” 多米諾骨牌”游戲這一直觀參照物，分解了數(shù)學歸納法教學上的難點。在抽象出數(shù)學歸納法的過程中，重視了學生的親身體驗，激勵學生積極參與，鼓勵學生大膽探索，創(chuàng)造性地抽象出新理論，有利于培養(yǎng)學生的抽象思維和創(chuàng)新能力。接著老師提出幾個問題讓學生思考，如數(shù)學歸納法的使用范圍是什么？其本質(zhì)是什么？兩步中哪一步最能說明其本質(zhì)等等，并給予學生一定的時間思考討論，之后老師和學生加以小結(jié)：（ 1）數(shù)學歸納 法主要用來證明與自然數(shù)有關的數(shù)學命題，其核心是遞推思想，就是用有限的步驟替代無限的遞推過程；（ 2）第一步是遞推的基礎，第二步是命題的正確性能否遞推下去的保證，它體現(xiàn)的就是遞推思想；（ 3）初始值不一定是 n=1，要根據(jù)實際情況而定，如改成 n= n0則更具一般性。 理論運用 （ 1）示范性運用 學以致用，學生回答老師板書一起用數(shù)學歸納法完成等差數(shù)列通項公式的證明，之后回頭對證明過程加以分析，進一步深化對遞推思想的認識，再一次分解教學上的難點。同時，對兩步在證題中的地位和作用作再一次的分析，讓學生深刻認識到兩步中 每一步都缺一不可，為此老師還特意安排習題加以驗證。 （ 2）反饋練習 老師有目的地安排基礎差異明顯的兩個學生上講臺分別寫出自然數(shù)前 n項平方和公式的證明過程，并在此間隙對其他學生進行必要的輔導，然后老師和學生一起對前兩個學生的答案作出評價，肯定成績，指出不足，對存在的突出問題和共性問題加以糾正，便于學生對自己的成績和不足有一個較全面的認識和客觀的評價，明確下一步努力的方向。 小結(jié)及作業(yè) 小結(jié)由學生完成，不到的地方老師加以糾正和補充，并強調(diào) 遞推思想是數(shù)學歸納法的實質(zhì) 運用數(shù)學歸納法證題的兩步缺一不可，兩 者緊密結(jié)合，完成從有限到無限的遞推過程 第二步中必須用到歸納假設，否則就不是數(shù)學歸納法。作業(yè)分為 A 組和 B組，難度不一，以照顧到不同層次的學生。 板書設計如下：
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