新人教a版高中數(shù)學選修4-5用數(shù)學歸納法證明不等式2篇(編輯修改稿)
2025-12-26 03:13 本頁面
【文章內容簡介】 ，當 n為大于 1的自然數(shù)時，原不等式成立 . 溫馨提示 用數(shù)學歸納法證明不等式時，從 P(k)到 P(k+1)的過渡往往用到不等式的傳 遞性，即要證 n=k+1時不等式成立〔不妨用 A(k+1)≥B(k+1)表示〕，需 n=k時， A（ k） ≥B(k)成立 ,然后有 A（ k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k), 類題演練 2 在數(shù)列 {an}中， |an|2,且 an+1an2an+1+2an0, 求證： an n2? (n∈ N). 證明： ∵ |an|2, ∴ 2an2.∴ 2an0. 由題設 an+1(2an)2an,則 an+1nnaa?22 . 1176。當 n=1時，由 |an|2,得 a12= 12? 成立 . 2176。假設當 n=k時，有 ak k2? 成立 .（下證 ak+1 12??k 成立） 設 f(x)= xx?22 ,易知 f(x)在 (2,2)內是單調遞增的，又 ak+1f(ak),由歸納假設 ,可知 ak k2? , ∴ ak+1f(ak)f( k2? )=1222)2(2??????kkk ,即當 n=k+1時， ak+112??k 成立 .故對任意 n∈ N，an n2? 成立 . 變式提升 2 設 a,b∈ R*,n∈ N*,求證： 2 nn ba ? ≥( 2ba? )n. 證明： ① n=1時，左邊 =右邊 = 2ba? ,原不等式成立 . ② 設 n=k時 ,原不等式成立，即 2 kk ba ? ≥( 2ba? )k成立 . ∵ a,b∈ R+,∴ 2ba? 2 kk ba ? ≥ 2)( 1?? kba 成立 . ∴ 要證明 n=k+1時原不等式成立，即證明 )2(2 11 baba kk ??? ??k+1成立 . 只需證明 :222 11 kkkk bababa ????? ??成立 . 只需證明 :ak+1+bk+1≥abk+akb成立 . 下面證明 :ak+1+bk+1≥abk+akb成立 . 不妨設 a≥b0,則 ak+1+bk+1abkakb=(akbk)(ab)≥0. ∴ ak+1+bk+1≥abk+akb成立 . 故 n=k+1時原不等式成立 . 由 ①② ,可知對于任何 n∈ N*，原不等式成立
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