歸納法證明不等式(編輯修改稿)
2024-10-28 02:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。N)的不等式，當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在n=k(n206。N)時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在n=k+1時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對(duì)n取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立。例已知：a,b206。R+，n206。N，n185。1，求證：an+bn179。an1b+abn1。證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，a2+b2179。ab+ab=2ab，不等式成立；（2）若n=k時(shí)，ak+bk179。ak1b+abk1成立，則ak+1+bk+1=a(ak+bk)abk+bk+1179。a(ak1b+abk1)abk+bk+1=akb+abk+(a2bk12abk+bk+1)=akb+abk+bk1(ab)2179。akb+abk，即ak+1+bk+1179。akb+abk成立。根據(jù)（1）、（2），an+bn179。an1b+abn1對(duì)于大于1的自然數(shù)n都成立。換元法在證題過(guò)程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問(wèn)題的證明達(dá)到簡(jiǎn)化。例已知：a+b+c=1，求證：ab+bc+ca163。1證明：設(shè)a=t，b=at(t206。R)，則c=+(1+a)t，333230。1246。230。1246。230。1246。233。1249。230。1246。233。1249。ab+bc+ca=231。t247。231。at247。+231。at247。234。+(1+a)t+231。t247。234。+(1+a)t232。3248。232。3248。232。3248。235。3232。3248。235。311(1+a+a2)t2163。（因?yàn)?+a+a20，t2179。0），33所以ab+bc+ca163。=三角代換法借助三角變換，在證題中可使某些問(wèn)題變易。例已知：a2+b2=1，x2+y2=1，求證：ax+by163。1。證明：設(shè)a=sinq，則b=cosq；設(shè)x=sinj，則y=cosj 所以ax+by=sinqsinj+cosqcosj=cos(qj)163。1。1判別式法通過(guò)構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變?cè)亩稳?xiàng)式有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來(lái)證明所要證明的不等式。例1設(shè)x,y206。R，且x2+y2=1，求證：yax163。+a2。證明：設(shè)m=yax，則y=ax+m代入x2+y2=1中得x2+(ax+m)2=1，即(1+a2)x2+2amx+(m21)=0 因?yàn)閤,y206。R，1+a2185。0，所以D179。0，即(2am)24(1+a2)(m21)179。0，解得m163。+a2，故yax163。+a2。1標(biāo)準(zhǔn)化法形如f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn的函數(shù)，其中0xi163。p，且；當(dāng)x1+x2+L+xn為常數(shù)，則當(dāng)xi的值之間越接近時(shí)，f(x1,x2,L,xn)的值越大（或不變）x1=x2=L=xn時(shí)，f(x1,x2,L,xn)取最大值，即f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn163。sinnx1+x2+L+xn。nA+B。2標(biāo)準(zhǔn)化定理：當(dāng)A+B為常數(shù)時(shí)，有sinAsinB163。sin2證明：記A+B=C，則f(A)=sinAsinBsin2A+BC=sinAsin(CA)sin2，22求導(dǎo)得f`(A)=sin(C2A)，由f`(A)=0得C=2A，即A=B 又由f``(A)=cos(BA)0知f`(A)的極大值點(diǎn)必在A=B時(shí)取得 由于當(dāng)A=B時(shí)，f`(A)=0，故得不等式。同理，可推廣到關(guān)于n個(gè)變?cè)那樾?。ABC1sinsin163。2228ABC11證明：由標(biāo)準(zhǔn)化定理得，當(dāng)A=B=C時(shí)，sin=sin=sin=，取最大值，故22228ABC1sinsinsin163。2228例1設(shè)A，B，C為三角形的三內(nèi)角，求證：sin1等式法應(yīng)用一些等式的結(jié)論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。例13（1956年波蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）、a,b,c為DABC的三邊長(zhǎng)，求證：2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+c4。證明：由海倫公式SDABC=其中p=(a+b+c)。2兩邊平方，移項(xiàng)整理得p(pa)(pb)(pc)，16(SDABC)2=2a2b2+2a2c2+2b2c2a4b4c4 而SDABC0，所以2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+c4。1函數(shù)極值法通過(guò)變換，把某些問(wèn)題歸
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