歸納法證明不等式-閱讀頁
2024-10-28 02:13本頁面
【正文】 a)(pb)(pc)，16(SDABC)2=2a2b2+2a2c2+2b2c2a4b4c4 而SDABC0，所以2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+c4。例1設x206。cos2x+3sinx163。83246。證明：f(x)=cos2x+3sinx=12sin2x+3sinx=2231。+24248。當sinx=31時，f(x)取最大值2； 48當sinx=1時，f(x)取最小值－4。cos2x+3sinx163。81單調函數(shù)法當x屬于某區(qū)間，有f`(x)179。0，則f(x)單調下降。g(x)，只須證f(a)=g(a)及f`(x)163。[a,b]。2證明：當x=0時，sinx=x=tanx=0，而p(sinx)`=cosx1=x`sec2x=(tanx)` 故得sinxxtanx。例1求證：sinxsiny163。證明：設f(x)=sinx，則sinxsiny=(xy)sin`x=(xy)cosx 故sinxsiny163。xy。1例1n179。N，求證：1+++L+n(n+11)。1246。1246。1246。+1247。+1247。+1247。2248。3248。n248。2=n23n1構造法在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函數(shù)、恒等式、復數(shù)等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的。1，a2+b2163。2。1，z2163。z2=(x+yi)2(a+bi)=[a(x2y2)2bxy]+[b(x2y2)+2axy]ib(x2y2)+2axy=Imz1z12(故b(x2y2)+2axy163。1排序法利用排序不等式來證明某些不等式。a2163。an，b1163。L163。a1bt1+a2bt2+L+anbtn163。當且僅當a1=a2=L=an或b1=b2=L=bn時取等號。亂序和163。例1求證：a2+b2+c2+d2179。證明：因為a,b,c,d206。ab+bc+cd+da。a+ma。R+，且ab，求證：b+mb證明：以b為斜邊，a為直角邊作RtDABC延長AB至D，使BD=m，延長AC至E，使ED^AD，過C作AD的平行線交DE于F，則DABC∽DADE，令CE=n，aABa+m=所以=bACb+na+ma+ma=。在實際證明中，以上方法往往相互結合、互相包含，證題時，可能同時運用幾種方法，結合起來加以證明。1)的最小值；（2）、當0222a(ba).a2+b2已知函數(shù)f(x)=xlnx, g(x)= axx(a206。g(x)恒成立的實數(shù)a的取值范圍；(3)求證：不等式ln(e+1)n+n1(n206。(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最大值。2ln(x1)225。2)。N*,n179。0對任意的x206。1246。2246。n1246。n246。247。247。（其中n206。+231。nnnne1232。232。232。232。已知函數(shù)f(x)=eaxa, xnnnn（1）、若a241。0對一切實數(shù)x都成立，求實數(shù)a的取值范圍。x2)是曲線y=g(x)上任意兩點，xe若對于任意的a163。(3)、求證：1+3+5L+(2n1)已知函數(shù)f(x)=(x+a)7blnx+1,其中a，b是常數(shù)，且a185。N*).e14a2（2）當b=時，討論f(x)的單調性； 7（3）設n是正整數(shù)，證明ln(1+n)(1+已知函數(shù)f(x)=xlnxaxx(a206。3180。n)n+1(n206。解:(Ⅰ)因為f(1)=b,由點(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=162。(1)=+y=1的斜率為1,所以a=1,即a==1,b=0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=xn(1x)=xnxn+1,f162。(x)=0,解得x=在(0,nx).n+12n27111111++K+)+7(1+++K+).22223n23nnn,即f162。)上有唯一零點x0=.n+1n+1n)上,f162。n+1n,+165。(x)0,f(x)+1而在（nnnnnn故f(x)在(0,+165。(t)=2=2(t0).tttt在(0,1)上,j162。而在(1,+165。(t)0,j(t)單調遞增.(Ⅲ)令j(t)=lnt1+故j(t)在(0,+165。,故所證不等式成立.(n+1)n+1ne已知函數(shù)f(x)=alnxax3.(a206。180。2,n
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