新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-223數(shù)學(xué)歸納法同步測試題(編輯修改稿)
2024-12-21 21:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 那么圓的面積比正方形的面積最大． 20．已知實數(shù) a b c d， ， ， 滿足 1a b c d? ? ? ? ， 1ac bd??，求證 a b c d， ， ， 中至少有一個是負數(shù)． 證明：假設(shè) a b c d， ， ， 都是非負實數(shù)，因為 1a b c d? ? ? ? ， 所以 a b c d， ， ， [01]?， ，所以2acac ac ?≤ ≤，2bcbd bd ?≤ ≤， 所以 122a c b dac bd ??? ? ?≤， 這與已知 1ac bd??相矛盾，所以原假設(shè)不 成立， 即證得 a b c d， ， ， 中至少有一個是負數(shù)． 21．設(shè) ()2xxaafx ???， ()2xxaagx ???（其中 0a? ，且 1a? ）． （ 1） 5 2 3?? 請你推測 (5)g 能否用 ( 2) (3 ) ( 2) (3 )f f g g， ， ，來表示； （ 2）如果（ 1）中獲得了一個結(jié)論，請你推測能否將其推廣． 解：（ 1）由 3 3 3 2 3 3 2 2 5 5( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 )2 2 2 2 1a a a a a a a a a af g g f ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ， 又 55(5)2aag ???， 因此 ( 5 ) ( 3 ) ( 2) ( 3 ) ( 2)g f g g f??． （ 2）由 ( 5 ) ( 3 ) ( 2) ( 3 ) ( 2)g f g g f，即 ( 2 3 ) (3 ) ( 2) (3 ) ( 2)g f g g f? ? ?， 于是推測 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x y f x g y g x f y? ? ?． 證明：因為 ()2xxaafx ???， ()2xxaagx ???（大前提）． 所以 ()()2x y x yaag x y ? ? ????， ()2yyaagy ???， ()2yyaafy ???，（小前提及結(jié)論） 所以 ()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2x x y y x x y y x y x ya a a a a a a a a af x g y g x f y g x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ． 22．若不等式 1 1 11 2 3 1 2 4an n n? ? ? ?? ? ?對一切正整數(shù) n 都成立，求正整數(shù) a 的最大值，并證明結(jié)論． 解：當(dāng) 1n? 時， 1 1 11 1 1 2 3 1 2 4a? ? ?? ? ?，即 2624 24a? ， 所以 26a? ． 而 a 是正整數(shù)，所以取 25a? ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1 1 1 2 51 2 3 1 2 4n n n? ? ? ?? ? ?． （ 1）當(dāng) 1n? 時，已證； （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? 時，不等式成立，即 1 1 1 2 51 2 3 1 2 4k k k? ? ? ?? ? ?． 則當(dāng) 1nk??時， 有 1 1 1( 1 ) 1 ( 1 ) 2 3 ( 1 ) 1k k k? ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 11 2 3 1 3 2 3 3 3 4 1k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 5 1 1 22 4 3 2 3 4 3 ( 1 )k k k??? ? ? ???? ? ???． 因為21 1 6 ( 1 ) 23 2 3 4 9 1 8 8 3 ( 1 )kk k k k k?? ? ?? ? ? ? ?， 所以21 1 6 ( 1 ) 23 2 3 4 9 1 8 8 3 ( 1 )kk k k k k?? ? ?? ? ? ? ?， 所以 1 1 2 03 2 3 4 3 ( 1 )k k k? ? ?? ? ?． 所以當(dāng) 1nk??時不 等式也成立． 由（ 1）（ 2）知，對一切正整數(shù) n ，都有 1 1 1 2 51 2 3 1 2 4n n n? ? ? ?? ? ?， 所以 a 的最大值等于 25． 高中新課標選修（ 22）推理與證明綜合測試題 一、選擇題 1．下面使用的類比推理中恰當(dāng)?shù)氖牵? ） Ａ．“若 22mn? ，則 mn? ”類比得出“若 00mn? ，則 mn? ” Ｂ．“ ()a b c ac bc? ? ? ”類比得出“ ()a b c acbc? ” Ｃ．“ ()a b c ac bc? ? ? ”類比得出“ ( 0)a b a b cc c c? ? ? ?” Ｄ．“ ()n n npq p q? ”類比得出“ ()n n np q p q? ? ? ” 答案：Ｃ 2．圖 1 是一個水平擺放的小正方體木塊，圖 2，圖 3 是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，至 第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)就是（ ） Ａ． 25 Ｂ． 66 Ｃ． 91 Ｄ．
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