新人教a版高中數(shù)學選修2-223數(shù)學歸納法同步測試題-文庫吧在線文庫
【正文】 ．若三角形內(nèi)切圓的半徑為 r ，三邊長為 a b c， ， ，則三角形的面積等于 1 ()2S r a b c? ? ?，根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為 R ，四個面的面積分別是1 2 3 4S S S S， ， ， ，則四面體的體積 V? ． 答案：1 2 3 41 ()3 R S S S S? ? ? 三、解答題 17．已知 a 是整數(shù)， 2a 是偶數(shù)，求證： a 也是偶數(shù)． 證明：（反證法）假設 a 不是偶數(shù)，即 a 是奇數(shù)． 設 2 1( )a n n? ? ?Z ，則 224 4 1a n n? ? ? ． 24( )nn?∵ 是偶數(shù)， 24 4 1nn??∴ 是奇數(shù)，這與已知 2a 是偶數(shù)矛盾． 由上述矛盾可知， a 一定是偶數(shù)． 18．已知命題：“若數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列，且 0na? ，則數(shù)列 12 ()nnnb a a a n ???N也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結論． 解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列，則數(shù)列 12 nn a a ab n? ? ??也是等差數(shù)列． 證明如下： 設等差數(shù)列 ??na 的公差為 d ，則 12 nn a a ab n? ? ??11( 1 )2( 1 )2n n dna dann??? ? ? ?， 所以數(shù)列 ??nb 是以 1a 為首項， 2d 為公差的等差數(shù)列 19．已知 abc?? ，且 0abc? ? ? ，求證： 2 3b aca? ?． 證明：因為 abc?? ，且 0abc? ? ? 所以 0a? ， 0c? ，要證明原不等式成立，只需證明 2 3b ac a?? r， 即證 223b ac a?? ，從而只需證明 22( ) 3a c ac a? ? ? ， 即 ( )(2 ) 0a c a c? ? ?， 因為 0ac?? ， 20a c a c a a b? ? ? ? ? ? ?， 所以 ( )(2 ) 0a c a c? ? ?成立，故原不等式成立． 20．用三段論方法證明： 2 2 2 2 2 2 2 ( )a b b c c a a b c? ? ? ? ? ? ?≥． 證明：因為 222a b ab? ≥ ，所以 2 2 2 22 ( ) 2a b a b ab? ? ?≥ （此處省略了大前提）， 所以 22 22 ()a b a b a b? ? ?≥ ≥（兩次省略了大前提，小前提）， 同理， 22 2 ()2b c b c??≥， 22 2 ()2a c a? ? ?， 三式相加得 2 2 2 2 2 2 2 ( )a b b c c a a b c? ? ? ? ? ? ?≥． （省略了大前提，小前提） 21．由下列不等式： 112?， 1123? ? ?， 1 1 1 312 3 7 2? ? ? ? ?， 1 1 1122 3 15? ? ? ? ?， ，你能得到一 個怎樣的一般不等式？并加以證明． 解：根據(jù)給出的幾個不等式可以猜想第 n 個不等式，即一般不等式為： 1 1 11 ( )2 3 2 1 2n n n ?? ? ? ? ? ?? N． 用數(shù)學歸納法證明如下： （ 1）當 1n? 時， 112? ，猜想成立； （ 2）假設當 nk? 時，猜想成立，即 1 1 11 2 3 2 1 2k k? ? ? ? ??， 則當 1nk??時， 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 11 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2kk k k k k k k kk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?，即當 1nk??時，猜想也正確，所以對任意的 n ??N ，不等式成立． 22．是否存在常數(shù) a b c， ， ，使得等式 2 2 2 2 2 2 4 21 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )n n n n n a n b n c? ? ? ? ? ? ? ? ?對 一切正整數(shù) n 都成立？若存在，求出 a b c， ， 的值；若不存在，說明理由． 解：假設存在 a b c， ， ，使得所給等式成立． 令 123n?， ， 代入等式得 016 4 381 9 18abca b ca b c? ? ???? ? ???? ? ??，，解得14140abc? ???? ????????，， 以下用數(shù)學歸納法證明等式 2 2 2 2 2 2 4 2111 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )44n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?對一切正整數(shù)n 都成立． （ 1）當 1n? 時，由以上可知等式成立； （ 2）假設當 nk? 時，等式成立，即 2 2 2 2 2 2 4 2111 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )44k k k k k k k?
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