【文章內容簡介】 xfx xx? ? ? ? ? ? ?? ????． 由于 0a? ，以下分兩種情況討論． （ 1）當 0a? 時，令 ( ) 0fx? ? ，得到1 1x a??， 2xa? ．當 x 變化時， ( ) ( )f x f x? ， 的變化情況如下表： x 1a????????，∞ 1a 1 aa???????， a ()a?， ∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx ? 極小值 極大值 所以 ()fx在區(qū)間 1a????????，∞， ()a?， ∞ 內為減函數(shù)，在區(qū)間 1 aa???????，內為增函數(shù)． 函數(shù) ()fx在1 1x a??處取得極小值 1fa???????，且 21faa??? ??????， 函數(shù) ()fx在2 1x a?處取得極大值 ()fa，且 ( ) 1fa? ． （ 2）當 0a? 時 ，令 ( ) 0fx? ? ，得到121x a x a? ? ?，當 x 變化時， ( ) ( )f x f x? ， 的變化情況如下表： x ? ?a? ，∞ a 1a a???????， 1a? 1a???????， +∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 極大值 極小值 所以 ()fx在區(qū)間 ()a? ，∞ ， 1a???????， +∞內為增函數(shù)，在區(qū)間 1aa???????，內為減函數(shù)． 函數(shù) ()fx在 1xa? 處取得極大值 ()fa，且 ( ) 1fa? ． 函數(shù) ()fx在2 1x a??處取得極小值 1fa???????，且 21faa??? ??????． 第 18 題 .已知函數(shù) 2221( ) ( )1a x af x xx????? R，其中 a?R ． （ Ⅰ ）當 1a? 時，求曲線 ()y f x? 在點 (2 (2))f， 處的切線方程； （ Ⅱ ） 當 0a? 時，求函數(shù) ()fx的單調區(qū)間與極值． 答案： （ Ⅰ ）解：當 1a? 時，22() 1xfx x? ?， 4(2) 5f ? ， 又 222 2 2 22 ( 1 ) 2 2 2 2() ( 1 ) ( 1 )x x x xfx xx? ? ?? ????， 6(2) 25f? ?? ． 所以，曲線 ()y f x? 在點 (2 (2))f， 處的切線方程為 46( 2)5 25yx? ? ? ?， 即 6 2 32 0xy? ? ?． （ Ⅱ ）解： 222 2 2 22 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( ) ( 1 )() ( 1 ) ( 1 )a x x a x a x a a xfx xx? ? ? ? ? ? ?? ????． 由于 0a? ，以下分兩種情況討論． （ 1）當 0a? 時，令 ( ) 0fx? ? ，得到1 1x a??， 2xa? ．當 x 變化時， ( ) ( )f x f x? ， 的變化情況如下表： x 1a????????，∞ 1a 1 aa???????， a ()a?， ∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx ? 極小值 極大值 所以 ()fx在區(qū)間 1a????????，∞， ()a?， ∞ 內為減函數(shù)，在區(qū)間 1 aa???????，內為增函數(shù)． 函數(shù) ()fx在1 1x a??處取得極小值 1fa???????，且 21faa??? ??????， 函數(shù) ()fx在2 1x a?處取得極大值 ()fa，且 ( ) 1fa? ． （ 2）當 0a? 時，令 ( ) 0fx? ? ，得到121x a x a? ? ?，當 x 變化時， ( ) ( )f x f x? ， 的變化情況如下表： x ? ?a? ，∞ a 1a a???????， 1a? 1a???????， +∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 極大值 極小值 所以 ()fx在區(qū)間 ()a? ，∞ ， 1a???????， +∞內為增函數(shù)，在區(qū)間 1aa???????，內為減函數(shù)． 函數(shù) ()fx在 1xa? 處取得極大值 ()fa，且 ( ) 1fa? ． 函 數(shù) ()fx在2 1x a??處取得極小值 1fa???????，且 21faa??? ??????． 第 19 題 .某分公司經(jīng)銷某種品牌產品，每件產品的成本為 3元，并且每件產品需向總公司交a 元（ 35a≤ ≤ ）的管理費，預計當每件產品的售價為 x 元（ 9 11x≤ ≤ ）時，一年的銷售量為 2(12 )x? 萬件． （ Ⅰ ）求分公司一年的利潤 L （萬元）與每件產品的售價 x 的函數(shù)關系式； （ Ⅱ ）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤 L 最大，并求出 L 的最大值 ()Qa ． 答案： 解：（ Ⅰ ）分公司一年的利潤 L （萬元）與售價 x 的函數(shù)關系式為： 2( 3 ) (12 ) [ 9 11 ]L x a x x? ? ? ? ?， ，． （ Ⅱ ） 2( ) (1 2 ) 2 ( 3 ) (1 2 )L x x x a x? ? ? ? ? ? ? (12 )(18 2 3 )x a x? ? ? ?． 令 0L?? 得 263xa??或 12x? （不合題意，舍去）． 35a≤ ≤ ， 2 288633a??≤ ≤． 在 263xa??兩側 L? 的值 由正變負． 所以（ 1）當 28 6 93 a??≤ 即 93 2a?≤ 時， 2m a x ( 9 ) ( 9 3 ) ( 1 2 9 ) 9 ( 6 )L L a a? ? ? ? ? ? ?． （ 2）當 2 2896 33a?≤ ≤ 即 9 52 a≤ ≤ 時， 2 3m a x 2 2 2 1( 6 ) 6 3 1 2 6 4 33 3 3 3L L a a a a a??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???， 所以 399 ( 6 ) 32()194 3 532aaQaaa? ????? ? ??? ???? ???， ≤ ， ≤ ≤ 答：若 93 2a?≤ ，則當每件售價為 9 元時，分公司一年的利潤 L 最大，最大值( ) 9(6 )Q a a??（萬元）；若 9 52 a≤ ≤ ，則當每件售價為 26 3a???????元時，分公司一年的利潤 L 最大，最大值 31( ) 4 33Q a a????????（萬元）． 第 20 題 .函數(shù) ( ) ln ( 0)f x x x x??的單調遞增區(qū)間是 ． 答案： 1e????????， 第 21 題 .已知函數(shù) 2( ) 1f x x x? ? ?， ??， 是方程 ( ) 0fx? 的兩個根 ()??? ， ()fx? 是()fx的導數(shù)．設 1 1a? ， 1 () ( 1 2 )()nnnnfaa a nfa? ? ? ?? ， ，． （ 1）求 ??， 的值； （ 2）已知對任意的正整數(shù) n 有 na ?? ，記 ln ( 1 2 )nn nabna ?????? ， ，．求數(shù)列 ??nb 的前 n項和 nS ． 答案： 解 ： (1) 由 2 10xx? ? ? 得 152x ??? 152? ???? 152? ??? (2) ? ? 21f x x? ?? 221 112 1 2 1n n nnn nna a aaa aa? ? ? ?? ? ??? ? ?? ?221221221 15 35152 1 2 21 1 5 3 5152 1 2 2152152nnnnnn nnnnnnnnaaaaaa aaaaaaaa??????? ? ?? ? ? ?????? ? ??? ? ? ???????? ??????? ?????? ????? ? 1 2nnbb? ? 又 11 1 3 5 1 5l n l n 4 l n235ab a ??? ??? ? ?? ? ?數(shù)列 ??nb 是一個首項為 154ln 2? ， 公比為 2 的等比數(shù)列； ? ? ? ? ?154 l n 1 2 152 4 2 1 l n1 2 2n nnS ? ? ?? ? ?? 第 22 題 .設函數(shù) 2( ) ln( 1)f x x b x? ? ?，其中 0b? ． （ Ⅰ ）當 12b? 時，判斷函數(shù) ()fx在定義域上的單調性； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx的極值點； （ Ⅲ ）證明對任意的正整數(shù) n ，不等式231 1 1ln 1n n n??? ? ?????都成立． 答案： 解：（Ⅰ）由題意知， ()fx的定義域為 ( 1 )? ??， ， 322( ) 211b x x bf x x xx ??? ? ? ??? 設 2( ) 2 2g x x x b? ? ?，其圖象的對稱軸為 1 ( 1 )2x ? ? ? ? ? ?， m a x 11() 22g x g b??? ? ? ? ? ?????． 當 12b?時，m ax 1( ) 02g x b? ? ? ?， 即 2( ) 2 3 0g x x x b? ? ? ?在 ( 1 )? ??， 上恒成立， ?當 ( 1 )x? ? ??， 時， ( ) 0fx? ? ， ?當 12b? 時，函數(shù) ()fx在定義域 ( 1 )? ??， 上單調遞增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當 12b? 時，函數(shù) ()fx無極值 點． ② 12b? 時，3122( ) 01xfx x???????? ??? 有兩個相同的解 12x?? ， 11 2x ??? ? ?????， 時， ( ) 0fx? ? ， 12x ??? ? ??????， 時， ( ) 0fx? ? 12b??時，函數(shù) ()fx在 ( 1 )? ??， 上無極值 點． ③當 12b? 時， ( ) 0fx? ? 有兩個不同解，1 1 1 22 bx ? ? ??，2 1 1 22 bx ? ? ??， 0b? 時， 1 1 1 2 12 bx ? ? ?? ? ?， 2 1 1 2 02 bx ? ? ???， 即 1 ( 1 )x ? ? ??， ， ? ?2 1x ? ? ??， ． 0b??時， ()fx? ， ()fx隨 x 的變化情況如下表： x 1( 1 )x?， 1x 2()x ??， ()fx? ? 0 ? ()fx 極小值 由此表可知： 0b? 時， ()fx有惟一極小值點1 1 1 22 bx ? ? ??， 當 102b??時，1 1 1 2 12 bx ? ? ?? ? ?， 12 ( 1 )xx? ? ? ? ?， ， 此時， ()fx? ， ()fx隨 x 的變化情況如下表： x 1( 1 )x?， 1x 12()xx， 1x 1()x ??， ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 極大值 極小值 由此表可知： 10 2b?? 時， ()fx 有一個極大值1 1 1 22 bx ? ? ??和一個極小值點2 1 1 22 bx ? ? ??； 綜上所述 ： 0b? 時， ()fx有惟一最小值點 1 1 22 bx ? ? ?? ； 10 2b?? 時， ()fx有一個極大值點 1 1 22 bx ? ? ?? 和一個極小值點 1 1 2bx x? ? ?? ； 12b≥ 時， ()fx無極值點． （Ⅲ）當 1b?? 時，函數(shù) 2( ) ln( 1)f x x x? ? ?， 令函數(shù) 2 2 2( ) ( ) l n( 1 )h x x f x x x x? ? ? ? ? ?， 則 222 1 3 ( 1 )( ) 3 2 11xxh x x x xx ??? ? ? ? ???． ?當 ? ?0x? ??， 時， ( ) 0fx? ? ，所以函數(shù) ()hx 在 ? ?0??， 上單調遞增， 又 (0) 0h ? ． (0 )x? ? ??， 時，恒有 ( ) (0) 0h x h??，即 23ln( 1)x x x? ? ?恒成立． 故當 (0 )x? ??， 時，有 23ln( 1)x x x? ? ?． 對任意正整數(shù) n 取 1 (0 )xn? ? ??，則有231 1 1ln 1n n n??? ? ?????． 所以結論成立．