【正文】 ? ? ? ? ? ?， 則 222 1 3 ( 1 )( ) 3 2 11xxh x x x xx ??? ? ? ? ???． ?當 ? ?0x? ??， 時， ( ) 0fx? ? ，所以函數(shù) ()hx 在 ? ?0??， 上單調(diào)遞增， 又 (0) 0h ? ． (0 )x? ? ??， 時，恒有 ( ) (0) 0h x h??，即 23ln( 1)x x x? ? ?恒成立． 故當 (0 )x? ??， 時，有 23ln( 1)x x x? ? ?． 對任意正整數(shù) n 取 1 (0 )xn? ? ??，則有231 1 1ln 1n n n??? ? ?????． 所以結論成立． 第 23 題 .設函數(shù) 1( ) 1 ( 1 )xf x x n xn??? ? ? ? ????? NR， 且 ， （ Ⅰ ）當 6x? 時，求 11 xn???????的展開式中二項式系數(shù)最大的項； （ Ⅱ ）對任意的實數(shù) x ，證明 ( 2 ) ( 2 ) ()2f x f fx? ??（ ()? 是 ()fx的導函數(shù)）； （ Ⅲ ）是否存在 a?N ，使得111 ( 1 )knka n a nk???? ? ? ?????? 恒成立？若存在，試證明你的結論并求出 a 的值；若不存在，請 說明理由． 答案： （ Ⅰ）解 ：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第 4項，這項是 3356 31 201C nn??????? （Ⅱ）證法一：因 ? ? ? ? 22112 2 1 1nf x fnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 22112 1 1nnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?112 1 1nnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?121nn???????? 112 1 ln 1 2nn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?39。 111 xgxxx?? ? ? 由 1 0xx? ?，得 1x? 因為當 01x??時， ? ?39。2 2 2f x f f x??，原不等式成立。(1) 3 6f a b? ? ? ? ∴ 2a? ， 12b?? ， 0c? ． （Ⅱ） 3( ) 2 12f x x x??． 239。 02 ( )fx? C． 39。()fx ? 0 ? 0 ? ()fx 極大 極小 所以函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間是 ( , 2)??? 和 ( 2, )?? ∵ ( 1) 10f ?? ， ( 2) 8 2f ?? ， (3) 18f ? ∴ ()fx在 [ 1,3]? 上的最大值是 (3) 18f ? ，最小值是 ( 2) 8 2f ?? ． 第 15 題 .設函數(shù) 2( ) ( )f x x x a? ? ? （ x?R ），其中 a?R ． （ Ⅰ ）當 1a? 時，求曲線 ()y f x? 在點 (2 (2))f， 處的切 線方程； （ Ⅱ ）當 0a? 時，求函數(shù) ()fx的極大值和極小值； （ Ⅲ ）當 3a? 時，證明存在 ? ?10k??， ，使得不等式 22( c os ) ( c os )f k x f k x??≥ 對任意的 x?R 恒成立 ． 答案： （ Ⅰ ）解：當 1a? 時， 2 3 2( ) ( 1 ) 2f x x x x x x? ? ? ? ? ? ?，得 (2) 2f ?? ，且 2( ) 3 4 1f x x x? ? ? ? ?， (2) 5f? ?? ． 所以，曲線 2( 1)y x x?? ? 在點 (2 2)?， 處的切線方程是 2 5( 2)yx? ? ? ? ，整理得 5 8 0xy? ? ? ． （ Ⅱ ）解： 2 3 2 2( ) ( ) 2f x x x a x a x a x? ? ? ? ? ? ? 22( ) 3 4 ( 3 ) ( )f x x ax a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ?． 令 ( ) 0fx? ? ，解得 3ax? 或 xa? ． 由于 0a? ，以下分兩種情況討論． （ 1）若 0a? ，當 x 變化時， ()fx? 的正負如下表： x 3a???????∞ ， 3a 3a a??????， a ()a?， ∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? 因此，函數(shù) ()fx在 3ax? 處取得極小值3af??????，且 343 27afa???????? ； 函數(shù) ()fx在 xa? 處取得極大值 ()fa，且 ( ) 0fa? ． （ 2）若 0a? ，當 x 變化時， ()fx? 的正負如下表： x ? ?a?∞ ， a 3aa??????， 3a 3a???????， ∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? 因此，函數(shù) ()fx在 xa? 處取得極小值 ()fa，且 ( ) 0fa? ； 函數(shù) ()fx在3ax?處取得極大值3af??????，且 343 27afa???????? ． （ Ⅲ ）證明：由 3a? ，得 13a? ，當 ? ?10k??， 時， cos 1kx? ≤ ， 22cos 1kx? ≤ ． 由（ Ⅱ ）知， ()fx在 ? ?1?∞ ， 上是減函數(shù)，要使 22( c os ) ( c os )f k x f k x??≥ ， x?R 只要 22c o s c o s ( )k x k x x? ? ? R≤ 即 22c o s c o s ( )x x k k x? ? ? R≤ ① 設 22 11( ) c o s c o s c o s24g x x x x??? ? ? ? ?????，則函數(shù) ()gx 在 R 上的最大值為 2 ． 要使 ① 式恒成立，必須 2 2kk? ≥ ，即 2k≥ 或 1k ?≤ ． 所以，在區(qū)間 ? ?10?， 上存在 1k?? ，使得 22( c os ) ( c os )f k x f k x??≥ 對任意的 x?R 恒成立． 第 16 題 .用長為 18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為 2:1 ，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少 ？ 答案：解：設長方體的寬為 (m)x ，則長為 2(m)x ， 高為 1 8 1 2 34 . 5 3 ( m ) 042xh x x? ??? ? ? ? ?????． 故長方體的體積為 2 2 3 2 3( ) 2 ( 4 .5 3 ) 9 6 ( m ) 02V x x x x x x??? ? ? ? ? ?????． 從而 2( ) 1 8 1 8 1 8 (1 )V x x x x x? ? ? ? ?． 令 ( ) 0Vx? ? ，解得 0x? （舍去）或 1x? ，因此 1x? ． 當 01x??時， ( ) 0Vx? ? ；當 312x??時， ( ) 0Vx? ? ． 故在 1x? 處 ()Vx取得極大值，并且這個極大值就是 ()Vx的最大值． 從而最大體積 2 3 3(1 ) 9 1 6 1 3 ( m )VV? ? ? ? ? ?，此時長方體的長為 2m ，高為 ． 答：當長方體的長為 2m ，寬為 1m ，高為 時，體積最大，最大體積為 33m ． 選修 2– 2（導數(shù)及其應用 – ） 一、 選擇題 1．設函數(shù) 0()f x x在 可導，則 000( ) ( 3 )limtf x t f x tt?? ? ? ?（ ） A． 39。()fx的最 小值為 12? ． （Ⅰ）求 a ， b ， c 的值； （Ⅱ）求函數(shù) ()fx的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù) ()fx在 [ 1,3]? 上的最大值和最小值． 答案： Ⅰ）∵ ()fx為奇函數(shù)， ∴ ( ) ( )f x f x? ?? 即 33ax bx c ax bx c? ? ? ? ? ? ? ∴ 0c? ∵ 239。 0gx? ， ??gx單調(diào)遞增，所以在 1x? 處 ??gx有極小值 1 故當 1x? 時， ? ? ? ?11g x g??， 從而有 ln 1xx??，亦即 ln 1 lnx x x? ? ? 故有 111 ln 1nn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?恒成立。 112 2 1 ln 1nfxnn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 故只需對 11n???????和 1ln 1n???????進行比較。 導數(shù)及其應用 高考題 第 1 題 .設函數(shù) 2( ) ln( 2 3 )f x x x? ? ? （ Ⅰ ）討論 ()fx的單調(diào)性； （ Ⅱ ）求 ()fx在區(qū)間 3144???????，的最大值和最小值． 答案： 解： ()fx的定義域為 32??? ??????，． （ Ⅰ ） 22 4 6 2 2 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 22 3 2 3 2 3x x x xf x xx x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?． 當 3 12 x? ? ?? 時， ( ) 0fx? ? ；當 11 2x? ? ?? 時， ( ) 0fx? ? ；當 12x?? 時， ( ) 0fx? ? ． 從而， ()fx分別在區(qū)間 3 12????????， 12??? ??????，單調(diào)增加，在區(qū)間 112????????，單調(diào)減少． （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知 ()fx在區(qū)間 3144???????，的最小值為 11ln 224f ??? ? ?????． 又 3 1 3 9 7 1 3 1 1 4 9l n l n l n 1 l n4 4 2 1 6 2 1 6 7 2 2 9ff? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0?． 所以 ()fx在區(qū)間 3144???????，的最大值為 1 1 7ln4 16 2f ????????． 第 2 題 .曲線 12exy? 在點 2(4 e)， 處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（ ） Ａ． 29e2 Ｂ． 24e Ｃ． 22e Ｄ． 2e 答案： Ｄ 第 3 題 .設函數(shù) 2( ) ln( )f x x a x? ? ?． （ I）若當 1x?? 時， ()fx取得極值，求 a 的值，并討論 ()fx的單調(diào)性； （ II）若 ()fx存在極值，求 a 的取值范圍，并證明所有極值之和大于 eln2 ． 答案： 解： （ Ⅰ ） 1( ) 2f x xxa? ??? ， 依題意有 ( 1) 0f??? ，故 32a?． 從而 22 3 1 ( 2 1 ) ( 1 )()3322x x x xfxxx? ? ? ?? ????． ()fx的定義域為 32??? ??????， ．當 3 12 x? ? ?? 時， ( ) 0fx? ? ； 當 112x? ? ??時， ( ) 0fx? ? ； 當 12x?? 時， ( ) 0fx? ? ． 從而， ()fx分別在區(qū)間 31122? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ，單調(diào)增加，在區(qū)間 112????????，單調(diào)減少． （ Ⅱ ） ()fx的定義域為 ()a? ??， ， 22 2 1() x a xfx xa??? ? ?． 方程 22 2 1 0x ax? ? ?的判別式 248a?? ? ． （ ⅰ ）若 0?? ，即 22a? ? ? ，在 ()fx的定義域內(nèi) ( ) 0fx? ? ，故 ()fx無極值． （ ⅱ ）若 0?? ，則 2a? 或 2a?? ． 若 2a? ， ( 2 )x? ? ??， ， 2( 2 1)()2xfx x ?? ? ?． 當 22x?? 時， ( ) 0fx? ? ，當 222x ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ，時， ( ) 0fx? ? ，所以 ()fx無極值． 若 2a?? ， ( 2 )x? ??， ， 2( 2 1)( ) 02xfx x ?? ???， ()fx也無極值． （ ⅲ ）若 0?? ，即 2a? 或 2a?? ，則 22 2 1 0x ax? ? ?有兩個不同的實根 21 22aax ? ? ??， 22 22aax ? ? ??． 當 2a?? 時， 12x a x a? ? ? ?， ，從而 ()fx? 在 ()fx的定 義域內(nèi)沒有零點， 故 ()fx無極值． 當 2a? 時， 1xa?? ， 2xa?? ， ()fx? 在 ()fx的定義域內(nèi)有兩個不同的零點， 由極值判別方法知 ()fx在 12x x x x??， 取得極值． 綜上， ()fx存在極值時， a 的取值范圍為 ( 2 )??， ． ()fx的極值之和為 2 2 21