【導讀】第1題.設函數(shù)2()lnfxxx???（Ⅰ）討論()fx的單調性；在點2，處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（）。時，()fx取得極值，求a的值，并討論()fx的單調性；在()fx的定義域內有兩個不同的零點，由極值判別方法知()fx在12xxxx??綜上，()fx存在極值時，a的取值范圍為??第5題.已知函數(shù)3211()32fxxaxbx???在點Af，處的切線為l，若l在點A處穿過。的圖象（即動點在點A附近沿曲線()yfx?運動，經(jīng)過點A時，從l的一側。，，(13]，內分別有一個極值點，設兩實根為12xx，（12xx?兩邊附近的函數(shù)值異號，則。都是()gx的極值點．。號．于是存在12mm，（121mm??第6題.已知函數(shù)3()128fxxx???，上的最大值與最小值分別為M，m，則。，內單調遞增，:5qm?（Ⅰ）證明：()fx的導數(shù)()2fx?

　　

【正文】 函數(shù) ()fx有且只有一個極大值點，極大值為 1 l n2 2 2b b bf aa?? ????? ? ? ? ??? ??????????． 綜上所述， 當 0ab? 時，函數(shù) ()fx沒有極值點； 當 0ab? 時， 若 00ab??， 時，函數(shù) ()fx有且只有一個極小值點，極小值為 1 ln22bba????? ? ?????????． 若 00ab??， 時，函數(shù) ()fx有且只有一個極大值點，極大值為 1 ln22bba????? ? ?????????． 第 10 題 .已知橢圓 C 的中心在坐 標原點，焦點在 x 軸上，橢圓 C 上的點到焦點距離的最大值為 3，最小值為 1． （ Ⅰ ）求橢圓 C 的標準方程； （ Ⅱ ）若直線 :l y kx m??與橢圓 C 相交于 AB， 兩點（ AB， 不是左右頂點），且以 AB 為直徑的圓過橢圓 C 的右頂點．求證 ：直線 l 過定點，并求出該定點的坐標． 答案： 解：（ Ⅰ ）由題意設橢圓的標準方程為 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?， 由已知得： 31a c a c? ? ? ?， ， 2 2 221 3acb a c??? ? ? ?， ， ?橢圓的標準方程為 22143xy??． （ Ⅱ ）設 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ，． 聯(lián)立 22y kx mxy????? ????， 得 2 2 2( 3 4 ) 8 4( 3 ) 0k x m k x m? ? ? ? ?，則 2 2 2 2 2 212 2212 264 16( 3 4 ) ( 3 ) 0 3 4 08344( 3 ) .34m k k m k mmkxxkmxxk?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ??? ?????， 即 ， 又 22221 2 1 2 1 2 1 2 23 ( 4 )( ) ( ) ( ) 34mky y k x m k x m k x x m k x x m k?? ? ? ? ? ? ? ? ?． 因為以 AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點 (20)D， ， 1AD BDkk? ?? ，即 12 122yyxx ????． 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x? ? ? ? ? ?． 2 2 22 2 23 ( 4 ) 4 ( 3 ) 1 6 403 4 3 4 3 4m k m m kk k k??? ? ? ? ?? ? ?． 227 16 4 0m m k k? ? ? ?． 解得：12 22 7km k m? ? ? ?，且均滿足 223 4 0km? ? ? ． 當 1 2mk?? 時， l 的方程為 ( 2)y k x??，直線過定點 (20)， ，與已知矛盾； 當2 27km ??時， l 的方程為 27y k x????????，直線過定點 207??????，． 所以，直線 l 過定點，定點坐標為 207??????，． 第 11 題 . 已知 32()f x ax bx cx? ? ?在區(qū)間 [01]， 上是增函數(shù)，在區(qū)間 ( 0) (1 )??， ， ，∞ ∞ 上是減函數(shù)，又 1322f ??? ?????． （ Ⅰ ）求 ()fx的解析式； （ Ⅱ ）若在區(qū)間 [0 ]( 0)mm?， 上恒有 ()f x x≤ 成立，求 m 的取值范圍． 答案： 解：（Ⅰ） 2( ) 3 2f x ax bx c? ? ? ?，由已知 (0) (1) 0ff????， 即 03 2 0ca b c??? ? ? ?? ， ，解得 0 32cba???? ????，． 2( ) 3 3f x ax ax?? ? ?， 1 3 3 32 4 2 2aaf ???? ? ? ????? ， 2a? ?? ， 32( ) 2 3f x x x? ? ? ?． （Ⅱ）令 ()f x x≤ ，即 322 3 0x x x? ? ? ≤， ( 2 1)( 1) 0x x x? ? ? ≥， 10 2x? ≤ ≤ 或 1x≥ ． 又 ()f x x≤ 在區(qū)間 ? ?0 m， 上恒成立， 10 2m??≤ ． 第 12 題 .若函數(shù) 3( ) ( )f x x x??R，則函數(shù) ()y f x??在其定義域上是（ ） A．單調遞減的偶函數(shù) B．單調遞減的奇函數(shù) C．單調遞增的偶函數(shù) D．單調遞增的奇函數(shù) 答案： B 第 13 題 .已知函數(shù) ()y f x? 的圖象在點 (1 (1))Mf， 處的切線方程是 1 22yx??，則(1) (1)ff???＿＿＿＿． 答案： 3 第 14 題 .設函數(shù) 3()f x ax bx c? ? ?( 0)a? 為奇函數(shù)，其圖象在點 (1, (1))f 處的切線與直線 6 7 0xy? ? ? 垂直，導函數(shù) 39。()fx的最 小值為 12? ． （Ⅰ）求 a ， b ， c 的值； （Ⅱ）求函數(shù) ()fx的單調遞增區(qū)間，并求函數(shù) ()fx在 [ 1,3]? 上的最大值和最小值． 答案： Ⅰ）∵ ()fx為奇函數(shù)， ∴ ( ) ( )f x f x? ?? 即 33ax bx c ax bx c? ? ? ? ? ? ? ∴ 0c? ∵ 239。( ) 3f x ax b??的最小值為 12? ∴ 12b?? 又直線 6 7 0xy? ? ? 的斜率為 16 因此， 39。(1) 3 6f a b? ? ? ? ∴ 2a? ， 12b?? ， 0c? ． （Ⅱ） 3( ) 2 12f x x x??． 239。( ) 6 1 2 6 ( 2 ) ( 2 )f x x x x? ? ? ? ?，列表如下： x ( , 2)??? 2? ( 2, 2)? 2 ( 2, )?? 39。()fx ? 0 ? 0 ? ()fx 極大 極小 所以函數(shù) ()fx的單調增區(qū)間是 ( , 2)??? 和 ( 2, )?? ∵ ( 1) 10f ?? ， ( 2) 8 2f ?? ， (3) 18f ? ∴ ()fx在 [ 1,3]? 上的最大值是 (3) 18f ? ，最小值是 ( 2) 8 2f ?? ． 第 15 題 .設函數(shù) 2( ) ( )f x x x a? ? ? （ x?R ），其中 a?R ． （ Ⅰ ）當 1a? 時，求曲線 ()y f x? 在點 (2 (2))f， 處的切 線方程； （ Ⅱ ）當 0a? 時，求函數(shù) ()fx的極大值和極小值； （ Ⅲ ）當 3a? 時，證明存在 ? ?10k??， ，使得不等式 22( c os ) ( c os )f k x f k x??≥ 對任意的 x?R 恒成立 ． 答案： （ Ⅰ ）解：當 1a? 時， 2 3 2( ) ( 1 ) 2f x x x x x x? ? ? ? ? ? ?，得 (2) 2f ?? ，且 2( ) 3 4 1f x x x? ? ? ? ?， (2) 5f? ?? ． 所以，曲線 2( 1)y x x?? ? 在點 (2 2)?， 處的切線方程是 2 5( 2)yx? ? ? ? ，整理得 5 8 0xy? ? ? ． （ Ⅱ ）解： 2 3 2 2( ) ( ) 2f x x x a x a x a x? ? ? ? ? ? ? 22( ) 3 4 ( 3 ) ( )f x x ax a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ?． 令 ( ) 0fx? ? ，解得 3ax? 或 xa? ． 由于 0a? ，以下分兩種情況討論． （ 1）若 0a? ，當 x 變化時， ()fx? 的正負如下表： x 3a???????∞ ， 3a 3a a??????， a ()a?， ∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? 因此，函數(shù) ()fx在 3ax? 處取得極小值3af??????，且 343 27afa???????? ； 函數(shù) ()fx在 xa? 處取得極大值 ()fa，且 ( ) 0fa? ． （ 2）若 0a? ，當 x 變化時， ()fx? 的正負如下表： x ? ?a?∞ ， a 3aa??????， 3a 3a???????， ∞ ()fx? ? 0 ? 0 ? 因此，函數(shù) ()fx在 xa? 處取得極小值 ()fa，且 ( ) 0fa? ； 函數(shù) ()fx在3ax?處取得極大值3af??????，且 343 27afa???????? ． （ Ⅲ ）證明：由 3a? ，得 13a? ，當 ? ?10k??， 時， cos 1kx? ≤ ， 22cos 1kx? ≤ ． 由（ Ⅱ ）知， ()fx在 ? ?1?∞ ， 上是減函數(shù)，要使 22( c os ) ( c os )f k x f k x??≥ ， x?R 只要 22c o s c o s ( )k x k x x? ? ? R≤ 即 22c o s c o s ( )x x k k x? ? ? R≤ ① 設 22 11( ) c o s c o s c o s24g x x x x??? ? ? ? ?????，則函數(shù) ()gx 在 R 上的最大值為 2 ． 要使 ① 式恒成立，必須 2 2kk? ≥ ，即 2k≥ 或 1k ?≤ ． 所以，在區(qū)間 ? ?10?， 上存在 1k?? ，使得 22( c os ) ( c os )f k x f k x??≥ 對任意的 x?R 恒成立． 第 16 題 .用長為 18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為 2:1 ，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少 ？ 答案：解：設長方體的寬為 (m)x ，則長為 2(m)x ， 高為 1 8 1 2 34 . 5 3 ( m ) 042xh x x? ??? ? ? ? ?????． 故長方體的體積為 2 2 3 2 3( ) 2 ( 4 .5 3 ) 9 6 ( m ) 02V x x x x x x??? ? ? ? ? ?????． 從而 2( ) 1 8 1 8 1 8 (1 )V x x x x x? ? ? ? ?． 令 ( ) 0Vx? ? ，解得 0x? （舍去）或 1x? ，因此 1x? ． 當 01x??時， ( ) 0Vx? ? ；當 312x??時， ( ) 0Vx? ? ． 故在 1x? 處 ()Vx取得極大值，并且這個極大值就是 ()Vx的最大值． 從而最大體積 2 3 3(1 ) 9 1 6 1 3 ( m )VV? ? ? ? ? ?，此時長方體的長為 2m ，高為 ． 答：當長方體的長為 2m ，寬為 1m ，高為 時，體積最大，最大體積為 33m ． 選修 2– 2（導數(shù)及其應用 – ） 一、 選擇題 1．設函數(shù) 0()f x x在 可導，則 000( ) ( 3 )limtf x t f x tt?? ? ? ?（ ） A． 39。 0()fx B． 39。 02 ( )fx? C． 39。 04 ( )fx D．不 能確定 2． 設 ()fx? 是函數(shù) ()fx的導 函數(shù)，將 ()y f x? 和 ()y f x?? 的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（ ） 3．設函數(shù) ()fx是 R 上以 5 為周期的可導偶函數(shù)，則曲線 ()y f x? 在 5x? 處的切線的斜率為（ ） Ａ． 15? Ｂ． 0 Ｃ． 15 Ｄ． 5 4．已知函數(shù) xxf ?)( ，在 0?x 處函數(shù)極值的情況是（ ） A．沒有極值 B．有極大值 C．有極小值 D．極值情況不能確定 5．曲線3 21xy? 在點 ?????? 41,8R 的切線方程是（ ） A． 02048 ??? yx B． 48 20 0xy? ? ? C． 48 20 0xy? ? ? D． 4 20 0xy? ? ? 6．已知曲線 )1000)(100(53400 2 ?????? xxxy 在點 M 處有水平切線，則點 M的坐標是（ ）． A．（ 15， 76） B．（ 15， 67） C．（ 15， 76） D．（ 15， 76） 7．已知函數(shù) xxxf ln)( ? ， 則（ ） A．在 ),0( ?? 上遞增 B．在 ),0( ?? 上遞減 y x O y x O y x O y x O A． B． C． D． C．在 ?????? e