【正文】 322 3 0t at a b? ? ? ? 有三個相異的實數(shù)根． 記 32( ) 2 3g t t a t a b? ? ? ?， 則 2( ) 6 6g t t at? ?? 6 ( )t t a??． 當(dāng) t 變化時， ( ) ( )g t g t?， 變化情況如下表： t ( 0)??， 0 (0 )a， a ()a??，[ ()gt? ? 0 ? 0 ? ()gt 極大值 ab? 極小值()b f a? 由 ()gt 的單調(diào)性，當(dāng)極大值 0ab?? 或極小值 ( ) 0b f a??時，方程 () 0gt? 最多有一個實數(shù)根； 當(dāng) 0ab??時，解方程 () 0gt? 得 30 2att??， ，即方程 () 0gt? 只有兩個相異的實數(shù)根； 當(dāng) ( ) 0b f a??時，解方程 () 0gt? 得 2at t a?? ?， ，即方程 () 0gt? 只有兩個相異的實數(shù)根． 綜上，如果 過 ()ab， 可作曲線 ()y f x? 三條切線，即 () 0gt? 有三個相異的實數(shù)根，則 0( ) 0abb f a???? ??? ， ． 即 ()a b f a? ? ? ． 第 12 題 .設(shè)函數(shù)2 e()xfx x ax a? ??，其中 a 為實數(shù)． （ I）若 ()fx的定義域為 R ，求 a 的取值范圍 ； （ II）當(dāng) ()fx的定義域為 R 時，求 ()fx的單調(diào)減區(qū)間． 答案： 解：（Ⅰ） ()fx的定義域為 R ， 2 0x ax a? ? ? ?恒成立， 2 40aa?? ? ? ?， 04a? ? ? ，即當(dāng) 04a?? 時 ()fx的定義域為 R ． （Ⅱ）22( 2 )e() ()xx x afxx a x a??? ? ??，令 ( ) 0fx? ≤ ，得 ( 2) 0x x a?? ≤ ． 由 ( ) 0fx? ? ，得 0x? 或 2xa?? ，又 04a?? ， 02a? ? ? 時，由 ( ) 0fx? ? 得 02xa? ? ? ； 當(dāng) 2a? 時， ( ) 0fx? ≥ ；當(dāng) 24a?? 時，由 ( ) 0fx? ? 得 20ax? ? ? ， 即當(dāng) 02a?? 時， ()fx的單調(diào)減區(qū)間為 (02 )a?， ； 當(dāng) 24a?? 時， ()fx的單調(diào)減區(qū)間為 (2 0)a?， ． 第 13 題 .設(shè) 3()3xfx? ，對任意實數(shù) t ，記 23 2() 3tg x t x t??． （ I）求函數(shù) 8( ) ( )y f x g x??的單調(diào)區(qū)間； （ II）求證：（ ⅰ ）當(dāng) 0x? 時， ( ) ( )tf x g x≥ 對任意正實數(shù) t 成立； （ ⅱ ）有且僅有一個正實數(shù) 0x ，使得 8 0 0( ) ( )tg x g x≥ 對任意正實數(shù) t 成立． 答案： （ I）解： 3 16433xyx? ? ? ． 由 2 40yx?? ? ? ，得 2x?? ． 因為當(dāng) ( 2)x? ?? ?， 時， y??0 ， 當(dāng) ( 22)x??， 時， 0y?? ， 當(dāng) (2 )x? ??， 時， 0y?? ， 故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( 2)???， ， (2 )??， ， 單調(diào)遞減區(qū)間是 ( 22)?， ． （ II）證明：（ i）方法一： 令 23 3 2( ) ( ) ( ) ( 0 )33t xh x f x g x t x t x? ? ? ? ? ?，則 22 3()h x x t? ??， 當(dāng) 0t? 時，由 ( ) 0hx? ? ，得 13xt? ． 當(dāng) 13(0 )xx? ， 時， ( ) 0hx? ? ， 當(dāng) 13()xx? ??， 時， ( ) 0hx? ? ， 所以 ()hx 在 (0 )??， 內(nèi)的最小值是 13( ) 0ht? ． 故當(dāng) 0x? 時， ( ) ( )tf x g x≥ 對任意正實數(shù) t 成立 ] 方法二： 對任意固定的 0x? ，令 23 2( ) ( ) ( 0 )3th t g x t x t t? ? ? ?，則 11332( ) ( )3h t t x t?? ??， 由 ( ) 0ht? ? ，得 3tx? ． 當(dāng) 30 tx?? 時， ( ) 0ht? ? ． 當(dāng) 3tx? 時， () 0ht? ? ， 所以當(dāng) 3tx? 時， ()ht 取得最大值 331()3h x x? ． 因此當(dāng) 0x? 時， ( ) ( )tf x g x≥ 對任意正實數(shù) t 成立． （ ii）方法一： 88(2) (2)3fg??． 由（ i）得， 8 (2) (2)tgg≥ 對任意正實數(shù) t 成立． 即存在正實數(shù) 0 2x? ，使得 8 (2) (2)tgg≥ 對任意正實數(shù) t 成立． 下面證明 0x 的唯一性： 當(dāng) 0 2x? ， 0 0x? ， 8t? 時， 300()3xfx?，8 0 0 16( ) 4 3g x x??， 由（ i）得， 300 16433x x??， 再取 30tx? ，得30300() 3x xgx?， 所以30308 0 0 016( ) 4 ( )33 xxg x x g x? ? ? ?， 即 0 2x? 時，不滿足 8 0 0( ) ( )tg x g x≥ 對任意 0t? 都成立． 故有且僅有一個正實數(shù) 0 2x? ， 使得 8 0 0( ) ( )tg x g x≥ 對任意正實數(shù) t 成立． 方法二：對任意 0 0x? ，8 0 0 16( ) 4 3g x x??， 因為 0()tgx 關(guān)于 t 的最大值是 3013x，所以要使 8 0 0( ) ( )tg x g x≥ 對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是： 30016 14 33xx? ≥ ， 即 200( 2) ( 4) 0xx??≤， ① 又因為 0 0x? ，不等式①成立的充分必要條件是 0 2x? ， 所以有且僅有一個正實數(shù) 0 2x? ， 使得 8 0 0( ) ( )tg x g x≥ 對任意正實數(shù) t 成立． 第 14 題 .已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù) 21( ) 22f x x ax??， 2( ) 3 lng x a x b??，其中0a? ．設(shè)兩曲線 ()y f x? ， ()y g x? 有公共點，且在該點處的切線相同． （ I）用 a 表示 b ，并求 b 的最大值； （ II）求證： ( ) ( )f x g x≥ （ 0x? ）． 答案： 本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力． 解：（ Ⅰ ）設(shè) ()y f x? 與 ( )( 0)y g x x??在公共點 00()xy， 處的切線相同． ( ) 2f x x a? ??∵ ， 23() agx x? ? ，由題意 00( ) ( )f x g x? ， 00( ) ( )f x g x??? ． 即220 0 02001 2 3 ln232x a x a x baxax? ? ? ????? ????，由 20 032 axax??得： 0xa? ，或 0 3xa?? （舍去）． 即有 2 2 2 2 2152 3 l n 3 l n22b a a a a a a a? ? ? ? ?． 令 225( ) 3 ln ( 0 )2h t t t t t? ? ?，則 ( ) 2 (1 3 ln )h t t t? ??．于是 當(dāng) (1 3ln ) 0tt??，即 130 te?? 時， ( ) 0ht? ? ； 當(dāng) (1 3ln ) 0tt??，即 13te? 時， () 0ht? ? ． 故 ()ht 在 130 e??????，為增函數(shù)，在 13e???????， ∞為減函數(shù)， 于是 ()ht 在 (0 )?， ∞ 的最大值為 123332h e e???????． （ Ⅱ ）設(shè) 221( ) ( ) ( ) 2 3 l n ( 0 )2F x f x g x x a x a x b x? ? ? ? ? ? ?， 則 ()Fx? 23 ( ) ( 3 )2 ( 0 )a x a x ax a xxx??? ? ? ? ?． 故 ()Fx在 (0 )a， 為減函數(shù)，在 ()a?， ∞ 為增函數(shù)， 于是函數(shù) ()Fx在 (0 )?， ∞ 上的最小值是 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0F a F x f x g x? ? ? ?． 故當(dāng) 0x? 時，有 ( ) ( ) 0f x g x? ≥ ，即當(dāng) 0x? 時， ( ) ( )f x g x≥ 第 15 題 .設(shè)函數(shù) 2 3 2( ) c o s 4 s in c o s 4 3 422xxf x x t t t t? ? ? ? ? ? ?， x?R ， 其中 1t≤ ，將 ()fx的最小值記為 ()gt ． （ I）求 ()gt 的表達(dá)式； （ II）討論 ()gt 在區(qū)間 (11)?， 內(nèi)的單調(diào)性并求極值． 答案： 解：（ I）我們有 2 3 2( ) c o s 4 s in c o s 4 3 422xxf x x t t t t? ? ? ? ? ? ? 2 2 2si n 1 2 si n 4 3 4x t t t t? ? ? ? ? ? ? 2 2 3si n 2 si n 4 3 3x t x t t t? ? ? ? ? ? 23( sin ) 4 3 3x t t t? ? ? ? ?． 由于 2(sin ) 0xt? ≥ ， 1t≤ ，故當(dāng) sinxt? 時， ()fx達(dá)到其最小值 ()gt ，即 3( ) 4 3 3g t t t? ? ?． （ II）我們有 2( ) 12 3 3 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 1g t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，． 列表如下： t 1 2?????????， 12? 122????????， 12 112??????， ()gt? ? 0 ? 0 ? ()gt[ 極大值12g??????? 極小值 12g?????? 由此可見， ()gt 在區(qū)間 112????????，和 112??????，單調(diào)增加，在區(qū)間 1122???????，單調(diào)減小，極小值為1 22g??????? ，極大值為 42g ????????? ． [第 16 題 . 設(shè) 0a≥ ， 2( ) 1 l n 2 l n ( 0 )f x x x a x x? ? ? ? ?． （ Ⅰ ）令 ( ) ( )F x xf x?? ，討論 ()Fx在 (0 )?， ∞ 內(nèi)的單調(diào)性并求極值； （ Ⅱ ）求證：當(dāng) 1x? 時，恒有 2ln 2 ln 1x x a x? ? ? 答案： （ Ⅰ ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有 2 ln 2( ) 1 0xaf x xxx? ? ? ? ?， 故 ( ) ( ) 2 l n 2 0F x x f x x x a x?? ? ? ? ?， 于是 22( ) 1 0xF x xxx?? ? ? ? ?， 列表如下： x (02)， 2 (2 )?， ∞ ()Fx? ? 0 ? ()Fx 極小值(2)F 故知 ()Fx在 (02)， 內(nèi)是減函數(shù)，在 (2 )?， ∞ 內(nèi)是增函數(shù)，所以，在 2x? 處取得極小值( 2) 2 2 ln 2 2Fa? ? ?． （ Ⅱ ）證明：由 0a≥ 知， ()Fx的極小值 ( 2) 2 2 ln 2 2 0Fa? ? ? ?． 于是由上表知，對一切 (0 )x??， ∞ ，恒有 ( ) ( ) 0F x xf x???． 從而當(dāng) 0x? 時，恒有 ( ) 0fx? ? ，故 ()fx在 (0 )?， ∞ 內(nèi)單調(diào)增加． 所以當(dāng) 1x? 時， ( ) (1) 0f x f??，即 21 ln 2 ln 0x x a x? ? ? ?． 故當(dāng) 1x? 時，恒有 2ln 2 ln 1x x a x? ? ?． 第 17 題 .已知函數(shù) 2221( ) ( )1a x af x xx????? R，其中 a?R ． （ Ⅰ ）當(dāng) 1a? 時，求曲線 ()y f x? 在點 (2 (2))f， 處的切線方程； （ Ⅱ ）當(dāng) 0a? 時，求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間與極值． 答案： （ Ⅰ ）解：當(dāng) 1a? 時，22() 1xfx x? ?， 4(2) 5f ? ， 又 222 2 2 22 ( 1 ) 2 2 2 2() ( 1 ) ( 1 )x x x xfx xx? ? ?? ????， 6(2) 25f? ?? ． 所以，曲線 ()y f x? 在點 (2 (2))f， 處的切線方程為 46( 2)5 25yx? ? ? ?， 即 6 2 32 0xy? ? ?． （ Ⅱ ）解： 222 2 2 22 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( ) ( 1 )() ( 1 ) ( 1 )a x x a x a x a a