【正文】 1 2 152 4 2 1 l n1 2 2n nnS ? ? ?? ? ?? 第 22 題 .設函數(shù) 2( ) ln( 1)f x x b x? ? ?，其中 0b? ． （ Ⅰ ）當 12b? 時，判斷函數(shù) ()fx在定義域上的單調(diào)性； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx的極值點； （ Ⅲ ）證明對任意的正整數(shù) n ，不等式231 1 1ln 1n n n??? ? ?????都成立． 答案： 解：（Ⅰ）由題意知， ()fx的定義域為 ( 1 )? ??， ， 322( ) 211b x x bf x x xx ??? ? ? ??? 設 2( ) 2 2g x x x b? ? ?，其圖象的對稱軸為 1 ( 1 )2x ? ? ? ? ? ?， m a x 11() 22g x g b??? ? ? ? ? ?????． 當 12b?時，m ax 1( ) 02g x b? ? ? ?， 即 2( ) 2 3 0g x x x b? ? ? ?在 ( 1 )? ??， 上恒成立， ?當 ( 1 )x? ? ??， 時， ( ) 0fx? ? ， ?當 12b? 時，函數(shù) ()fx在定義域 ( 1 )? ??， 上單調(diào)遞增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當 12b? 時，函數(shù) ()fx無極值 點． ② 12b? 時，3122( ) 01xfx x???????? ??? 有兩個相同的解 12x?? ， 11 2x ??? ? ?????， 時， ( ) 0fx? ? ， 12x ??? ? ??????， 時， ( ) 0fx? ? 12b??時，函數(shù) ()fx在 ( 1 )? ??， 上無極值 點． ③當 12b? 時， ( ) 0fx? ? 有兩個不同解，1 1 1 22 bx ? ? ??，2 1 1 22 bx ? ? ??， 0b? 時， 1 1 1 2 12 bx ? ? ?? ? ?， 2 1 1 2 02 bx ? ? ???， 即 1 ( 1 )x ? ? ??， ， ? ?2 1x ? ? ??， ． 0b??時， ()fx? ， ()fx隨 x 的變化情況如下表： x 1( 1 )x?， 1x 2()x ??， ()fx? ? 0 ? ()fx 極小值 由此表可知： 0b? 時， ()fx有惟一極小值點1 1 1 22 bx ? ? ??， 當 102b??時，1 1 1 2 12 bx ? ? ?? ? ?， 12 ( 1 )xx? ? ? ? ?， ， 此時， ()fx? ， ()fx隨 x 的變化情況如下表： x 1( 1 )x?， 1x 12()xx， 1x 1()x ??， ()fx? ? 0 ? 0 ? ()fx 極大值 極小值 由此表可知： 10 2b?? 時， ()fx 有一個極大值1 1 1 22 bx ? ? ??和一個極小值點2 1 1 22 bx ? ? ??； 綜上所述 ： 0b? 時， ()fx有惟一最小值點 1 1 22 bx ? ? ?? ； 10 2b?? 時， ()fx有一個極大值點 1 1 22 bx ? ? ?? 和一個極小值點 1 1 2bx x? ? ?? ； 12b≥ 時， ()fx無極值點． （Ⅲ）當 1b?? 時，函數(shù) 2( ) ln( 1)f x x x? ? ?， 令函數(shù) 2 2 2( ) ( ) l n( 1 )h x x f x x x x? ? ? ? ? ?， 則 222 1 3 ( 1 )( ) 3 2 11xxh x x x xx ??? ? ? ? ???． ?當 ? ?0x? ??， 時， ( ) 0fx? ? ，所以函數(shù) ()hx 在 ? ?0??， 上單調(diào)遞增， 又 (0) 0h ? ． (0 )x? ? ??， 時，恒有 ( ) (0) 0h x h??，即 23ln( 1)x x x? ? ?恒成立． 故當 (0 )x? ??， 時，有 23ln( 1)x x x? ? ?． 對任意正整數(shù) n 取 1 (0 )xn? ? ??，則有231 1 1ln 1n n n??? ? ?????． 所以結論成立． 第 23 題 .設函數(shù) 1( ) 1 ( 1 )xf x x n xn??? ? ? ? ????? NR， 且 ， （ Ⅰ ）當 6x? 時，求 11 xn???????的展開式中二項式系數(shù)最大的項； （ Ⅱ ）對任意的實數(shù) x ，證明 ( 2 ) ( 2 ) ()2f x f fx? ??（ ()? 是 ()fx的導函數(shù)）； （ Ⅲ ）是否存在 a?N ，使得111 ( 1 )knka n a nk???? ? ? ?????? 恒成立？若存在，試證明你的結論并求出 a 的值；若不存在，請 說明理由． 答案： （ Ⅰ）解 ：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第 4項，這項是 3356 31 201C nn??????? （Ⅱ）證法一：因 ? ? ? ? 22112 2 1 1nf x fnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 22112 1 1nnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?112 1 1nnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?121nn???????? 112 1 ln 1 2nn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?39。 導數(shù)及其應用 高考題 第 1 題 .設函數(shù) 2( ) ln( 2 3 )f x x x? ? ? （ Ⅰ ）討論 ()fx的單調(diào)性； （ Ⅱ ）求 ()fx在區(qū)間 3144???????，的最大值和最小值． 答案： 解： ()fx的定義域為 32??? ??????，． （ Ⅰ ） 22 4 6 2 2 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 22 3 2 3 2 3x x x xf x xx x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?． 當 3 12 x? ? ?? 時， ( ) 0fx? ? ；當 11 2x? ? ?? 時， ( ) 0fx? ? ；當 12x?? 時， ( ) 0fx? ? ． 從而， ()fx分別在區(qū)間 3 12????????， 12??? ??????，單調(diào)增加，在區(qū)間 112????????，單調(diào)減少． （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知 ()fx在區(qū)間 3144???????，的最小值為 11ln 224f ??? ? ?????． 又 3 1 3 9 7 1 3 1 1 4 9l n l n l n 1 l n4 4 2 1 6 2 1 6 7 2 2 9ff? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0?． 所以 ()fx在區(qū)間 3144???????，的最大值為 1 1 7ln4 16 2f ????????． 第 2 題 .曲線 12exy? 在點 2(4 e)， 處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（ ） Ａ． 29e2 Ｂ． 24e Ｃ． 22e Ｄ． 2e 答案： Ｄ 第 3 題 .設函數(shù) 2( ) ln( )f x x a x? ? ?． （ I）若當 1x?? 時， ()fx取得極值，求 a 的值，并討論 ()fx的單調(diào)性； （ II）若 ()fx存在極值，求 a 的取值范圍，并證明所有極值之和大于 eln2 ． 答案： 解： （ Ⅰ ） 1( ) 2f x xxa? ??? ， 依題意有 ( 1) 0f??? ，故 32a?． 從而 22 3 1 ( 2 1 ) ( 1 )()3322x x x xfxxx? ? ? ?? ????． ()fx的定義域為 32??? ??????， ．當 3 12 x? ? ?? 時， ( ) 0fx? ? ； 當 112x? ? ??時， ( ) 0fx? ? ； 當 12x?? 時， ( ) 0fx? ? ． 從而， ()fx分別在區(qū)間 31122? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ，單調(diào)增加，在區(qū)間 112????????，單調(diào)減少． （ Ⅱ ） ()fx的定義域為 ()a? ??， ， 22 2 1() x a xfx xa??? ? ?． 方程 22 2 1 0x ax? ? ?的判別式 248a?? ? ． （ ⅰ ）若 0?? ，即 22a? ? ? ，在 ()fx的定義域內(nèi) ( ) 0fx? ? ，故 ()fx無極值． （ ⅱ ）若 0?? ，則 2a? 或 2a?? ． 若 2a? ， ( 2 )x? ? ??， ， 2( 2 1)()2xfx x ?? ? ?． 當 22x?? 時， ( ) 0fx? ? ，當 222x ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ，時， ( ) 0fx? ? ，所以 ()fx無極值． 若 2a?? ， ( 2 )x? ??， ， 2( 2 1)( ) 02xfx x ?? ???， ()fx也無極值． （ ⅲ ）若 0?? ，即 2a? 或 2a?? ，則 22 2 1 0x ax? ? ?有兩個不同的實根 21 22aax ? ? ??， 22 22aax ? ? ??． 當 2a?? 時， 12x a x a? ? ? ?， ，從而 ()fx? 在 ()fx的定 義域內(nèi)沒有零點， 故 ()fx無極值． 當 2a? 時， 1xa?? ， 2xa?? ， ()fx? 在 ()fx的定義域內(nèi)有兩個不同的零點， 由極值判別方法知 ()fx在 12x x x x??， 取得極值． 綜上， ()fx存在極值時， a 的取值范圍為 ( 2 )??， ． ()fx的極值之和為 2 2 21 2 1 1 2 2 1e( ) ( ) l n ( ) l n ( ) l n 1 1 l n 2 l n22f x f x x a x x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 第 4 題 .函數(shù) 3( ) 12f x x x??在區(qū)間 [ 33]?， 上的最小值是 ． 答案： 16? 第 5 題 .已知函數(shù) 3211() 32f x x a x b x? ? ?在區(qū)間 [11)?， ， (13]， 內(nèi)各有一個極值點． （ I）求 2 4ab? 的最大值； （ II）當 2 48ab??時，設函數(shù) ()y f x? 在點 (1 (1))Af， 處的切線為 l ，若 l 在點 A 處穿過函數(shù) ()y f x? 的圖象（即動點在點 A 附近沿曲線 ()y f x? 運動，經(jīng)過點 A 時，從 l 的一側(cè)進入另一側(cè)），求函數(shù) ()fx的表達式． 答案： 解：（ I）因為函數(shù) 3211() 32f x x a x b x? ? ?在區(qū)間 [11)?， ， (13]， 內(nèi)分別有一個極值點，所以 2()f x x ax b? ? ? ?0? 在 [11)?， ， (13]， 內(nèi)分別有一個實根， 設兩實根為 12xx， （ 12xx? ），則 221 4x x a b? ? ?，且 2104xx??≤ ．于是 20 4 4ab??≤ ， 20 4 16ab?? ≤ ，且當 1 1x??， 2 3x? ，即 2a?? ， 3b?? 時等號成立．故 2 4ab? 的最大值是 16． （ II）解法一：由 (1) 1f a b? ? ? ? 知 ()fx在點 (1 (1))f， 處的切線 l 的方程是 (1) (1)( 1)y f f x?? ? ?，即 21(1 ) 32y a b x a? ? ? ? ?， 因為切線 l 在點 (1 (1))Af， 處穿過 ()y f x? 的圖象， 所以 21( ) ( ) [ (1 ) ]32g x f x a b x a? ? ? ? ? ?在 1x? 兩邊附近的函數(shù)值異號，則 1x? 不是 ()gx的極值點． 而 ()gx 321 1 2 1( 1 )3 2 3 2x a x b x a b x a? ? ? ? ? ? ? ?，且 22( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )g x x a x b a b x a x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 若 11a?? ? ，則 1x? 和 1xa?? ? 都是 ()gx 的極值點． 所以 11a?? ? ，即 2a?? ．又由 2 48ab??，得 1b?? ．故 321()3f x x x x? ? ?． 解法二：同解法一得 21( ) ( ) [ (1 ) ]32g x f x a b x a? ? ? ? ? ? 21 3 3( 1 ) [ (1 ) ( 2 ) ]3 2 2ax x x a? ? ? ? ? ?． 因為切線 l 在點 (1 (1))Af， 處穿過 ()y f x? 的圖象，所以 ()gx 在 1x? 兩邊附近