數(shù)學(xué)歸納法證明不等式章末復(fù)習(xí)方案課件人教a選修(編輯修改稿)
2025-02-11 08:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 在從 k到 k＋ 1的過程中，若僅僅利用已知條件，有時還是沒有證題思路，這時考查同一題中已證明過的結(jié)論，看是否可借用，這種 “借用 ”思想非常重要． [ 例 5] 設(shè) { x n } 是由 x 1 ＝ 2 ， x n ＋ 1 ＝x n2＋1x n( n ∈ N ＋ ) 定義的數(shù)列，求證：不等式 2 x n 2 ＋1n( n ∈ N ＋ ) ． [ 解 ] 受阻過程： 由于對于任意的 k ∈ N ＋ ， x k ＋ 1 ＝x k2＋1x k2x k21x k＝ 2 . 所以 x n 2 ( n ∈ N ＋ ) 顯然成立． 下面證明： x n 2 ＋1n( n ∈ N ＋ ) ． ( 1) 當(dāng) n ＝ 1 時， x1＝ 2 2 ＋ 1 ，不等式成立． ( 2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ≥ 1 ， k ∈ N ＋ ) 時，不等式成立， 即 xk 2 ＋1k， 那么，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時， xk ＋ 1＝xk2＋1xk. 由歸納假設(shè)， xk 2 ＋1k， 則xk222＋12 k ① 1xk12 ＋1k ② 因為 ① 、 ② 不是同向不等式，所以由遞推式無法完成由 k 到 ( k ＋ 1) 的證明，到此好像 “ 山重水復(fù)疑無路 ” ，證題思路受到阻礙． 受阻原因分析： 要利用遞推式 xk ＋ 1＝xk2＋1xk，只要找出關(guān)系式1xk A ，才有可能推導(dǎo)下去． 因此，只有尋覓出 xk1A這樣一個條件，才可以接通思路．當(dāng)注意到前面已證明 xn 2 以后，問題就可以解決了．思路受阻的原因就在于不會借用前面已經(jīng)證明的結(jié)論．事實上， ∵ xk 2 ， ∴1xk22. ∴ xk ＋ 1＝xk2＋1xk22＋12 k＋22 ＝ 2 ＋12 k≤ 2 ＋1k ＋ 1. 即 xk ＋ 1 2 ＋1k ＋ 1. 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明 3n≥n3(n≥3， n∈ N＋ )，第一步應(yīng)驗證 ( ) A． n＝ 1 B． n＝ 2 C． n＝ 3 D． n＝ 4 答案： C 2 ．設(shè) f ( n ) ＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋1n ＋ 3＋ ? ＋12 n( n ∈ N ＋ ) ，則 f ( n ＋ 1 ) － f ( n ) ＝ ( ) A.12 n ＋ 1 B.12 n ＋ 2 C.12 n ＋ 1＋12 n ＋ 2 D.12 n ＋ 1－12 n ＋ 2 解析： 由題意知 f ( n ) ＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋12 n， f ( n ＋ 1) ＝1n ＋ 2＋1n ＋ 3＋ ? ＋12 n＋12 n ＋ 1＋12 n ＋ 2， 故 f ( n ＋ 1) － f ( n ) ＝12 n ＋ 1＋12 n ＋ 2－1n ＋ 1 ＝12 n ＋ 1＋1 － 22 n ＋ 2＝12 n ＋ 1－12 n ＋ 2. 答案： D 3 ．用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 ＋n2≤ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12n ≤12＋ n ( n ∈ N*) 成立，當(dāng) n ＝ 1 時，應(yīng)驗證 ( ) A.32≤ 1 ＋12≤32 B.
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