55-基本不等式-課件(人教a版選修4-5)(編輯修改稿)
2024-08-31 08:57 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 僅當(dāng)1 2 3 na a a a? ? ? ?時(shí)取等號(hào) . ) 定理： 設(shè),x y z都是正數(shù)，則有 ⑴ 若xy z S?（定值）， 則當(dāng)x y z??時(shí)，x y z??有最小值 33. s ⑵ 若x y z p? ? ?（定值）， 則當(dāng)x y z??時(shí)，x y z有最大值 3.27p 例 1 求函數(shù) 在 上的最大值 . ( ) [ , ]2 11 3 03??y x x注：一正、二定、三等。問(wèn)題 求證 :在表面積一定的長(zhǎng)方體中 ,以正方體的體積最大 . x y z ?v xyz解：設(shè)長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)度分別為 x、 y、 z,則長(zhǎng)方體的體積為 2 2 2? ? ?S x y x z y z而 略 例 2: 如圖，把一塊邊長(zhǎng)是 a 的正方形鐵 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多小時(shí)？才能使盒子的容積最大？ a x 2( 2 )0)2v a x xax? ? ???解 ： 依 意 有 （ 題 3, , ( ) 2 7x y z R x y z x y z?? ? ? ≥已 知 ， 例 3：求證 : （二） 絕對(duì)值不等式 我們來(lái)研究 : 絕對(duì)值有什么性質(zhì) ? 我們知道 , 一個(gè)實(shí)數(shù) a 的絕對(duì)值的意義 : ⑴( 0 )0 ( 0 )( 0 )aaaaaa??????????。 （定義） ⑵a的 幾何意義 : O A||axa0關(guān)于絕對(duì)值還有什么性質(zhì)呢 ? 表示數(shù)軸上坐標(biāo)為 a的點(diǎn) A到原點(diǎn) O的距離 . ① 2aa? ② a b a b? , aabb ?, ?? 思考 : 用 恰 當(dāng) 的 方法 在 數(shù) 軸 上 把 ,a b a b? 表 示 出來(lái) ， 你 能 發(fā) 現(xiàn) 它們 之間的 什么 關(guān)系 ? 注： 絕對(duì)值的幾何意義 : ⑴a表示數(shù)軸上的數(shù) A 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn) O 的距 離OA。 ⑵ab?表示數(shù)軸上的數(shù) A 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù) b 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) B的距離 . 如圖 : 即a=OA，a b A B?? 猜想 ： a b a b?? ≤ （當(dāng)且僅當(dāng) 0ab ≥ 時(shí)，等號(hào)成立 . ） 已知 ,ab 是實(shí)數(shù)，試證明： a b a b?? ≤ （當(dāng)且僅當(dāng) 0ab ≥ 時(shí)，等號(hào)成立 . ） 證明 :10 .當(dāng) ab≥ 0時(shí) , | | ,| | ( )| | | | | | | |( | | | | )| | | |22222222?? ? ?? ? ?? ? ?????ab aba b a ba ab ba a b babab20. 當(dāng) ab0時(shí) , | | ,| | ( )| | | | | || | | | | | | |(| | | | )| | | |22222222222??? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?????ab aba b a ba ab ba ab ba a b babab綜合 10,20知定理成立 . 若把 ,ab 換為 向量 ,ab 情形 怎樣 ？ 定理 1 如果 ,ab 是實(shí)數(shù)， 則 a b a b?? ≤ （當(dāng)且僅當(dāng) 0ab ≥ 時(shí)，等號(hào)成立 . ） abab?ab?如果 把 ,ab 換為 向量 ,ab ， 根據(jù) 向量加法的三角形法則 , 易知 a b a b?? ≤ .( 同向時(shí)取等號(hào) ) 定理 1 （ 絕對(duì)值三角形不等式 ） 如果 ,ab 是實(shí)數(shù)，則 a b a b?? ≤ （當(dāng)且僅當(dāng) 0ab ≥ 時(shí)，等號(hào)成立 . ） abab?a bab?由這個(gè)圖，你還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？ 定理 （ 絕對(duì)值三角形不等式 ） 如果 ,ab 是實(shí)數(shù)， 則 a b a b a b? ? ?≤ ≤ 推論 1 ： 1 2 1 2nna a a a a a? ? ? ? ? ?≤. 推論 2 ： 如 果 a b c、 、 是 實(shí)數(shù) , 那么 a c a b b c? ? ? ?≤ ,當(dāng) 且 僅 當(dāng) ( ) ( ) 0a b b c?? ≥ 時(shí) , 等 號(hào) 成立 . 課堂練習(xí)： 1.( 課本15P例 1) 已知0 , ,x a y b? ? ? ? ?ε ε ε， 求證：2 3 2 3 5x y a b? ? ? ? ε. 2.( 課本20P習(xí)題 1 .2 第 1 題 ) 求證 : ⑴2a b a b a? ?
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