不等式證明20法(編輯修改稿)
2024-10-28 23:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ++L+n(n+11)。23n證明：因為1+111230。1246。230。1246。230。1246。++L++n=(1+1)+231。+1247。+231。+1247。+L+231。+1247。 23n232。2248。232。3248。232。n248。=2+所以1+34n+134n+1++L+n2L=nn+1 23n23n++L+n(n+11)。23n1構(gòu)造法在證明不等式時，有時通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、復(fù)數(shù)等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的。例1已知：x2+y2163。1，a2+b2163。2，求證：b(x2y2)+2axy163。2。證明：依題設(shè)，構(gòu)造復(fù)數(shù)z1=x+yi，z2=a+bi，則z1163。1，z2163。2 所以z1z2=(x+yi)2(a+bi)=[a(x2y2)2bxy]+[b(x2y2)+2axy]ib(x2y2)+2axy=Imz1z2163。z1z2163。2(故b(x2y2)+2axy163。2。1排序法利用排序不等式來證明某些不等式。排序不等式：設(shè)a1163。a2163。L163。an，b1163。b2163。L163。bn，則有其中t1,t2,L,tn是a1bn+a2bn1+L+anb1163。a1bt1+a2bt2+L+anbtn163。a1b1+a2b2+L+anbn，1,2,L,n的一個排列。當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=an或b1=b2=L=bn時取等號。簡記作：反序和163。亂序和163。同序和。例1求證：a2+b2+c2+d2179。ab+bc+cd+da。證明：因為a,b,c,d206。R有序，所以根據(jù)排序不等式同序和最大，即a2+b2+c2+d2179。ab+bc+cd+da。幾何法借助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易。a+ma。例已知：a,b,m206。R+，且ab，求證：b+mb證明：以b為斜邊，a為直角邊作RtDABC延長AB至D，使BD=m，延長AC至E，使ED^AD，過C作AD的平行線交DE于F，則DABC∽DADE，令CE=n，aABa+m=所以=bACb+na+ma+ma=。又CECF，即nm，所以b+mb+nbE另外，還可以利用重要的不等式來證題，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、絕對值不等式、貝努利（）不等式、赫爾德（）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（）不等式等，這里不再煩述了。在實際證明中，以上方法往往相互結(jié)合、互相包含，證題時，可能同時運用幾種方法，結(jié)合起來加以證明。第二篇：放縮法證明不等式放縮法證明不等式不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。一、不等式的初等證明方法：由因?qū)Ч?。：?zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。：正難則反。：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。放縮法的方法有：(1)添加或舍去一些項，如(2)利用基本不等式，如：(3)將分子或分母放大(或縮小)：：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。二、部分方法的例題換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時間，這一
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